现代控制理论试卷作业一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出1x •，2x •，即可得到状态空间表达式如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120 二、考虑下列系统：（a ）给出这个系统状态变量的实现；（b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。

解：（a ）模拟结构图如下：则可得系统的状态空间表达式：（b ） 因为 3023A -⎡⎢=⎢⎢⎣ 0013 k k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦ 110b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。

又因为：[2C = 1 ]0所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。

综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。

三、已知系统.Ax x =•的状态转移矩阵为：（1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。

（2）已知A 求At e ，以下采用三种方法计算At e ，并对计算结果进行讨论。

解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有A t t A t )()()(φφφ==• 即A e Ae e dtd At At At == 当t=0时 I =)0(φ I =-)0(1φ验证At e ：（利用P59的公式（2-24）来验证）解得：221-==λλ，13-=λ，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的i a 仍按公式（2-23）计算。

且2210A a A a I a e At ++=所以：==At e t )(φ四、有两个能控能观的单输入—单输出系统：1S ：111104310u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=• []1112x y = 2S ：2222U x x +-=• 22x y =（1）按图把1S 、2S 串联，针对[]12x x x =推导状态方程。

（2）判断以上系统的能控性和能观性。

（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。

（4）求1S 、2S 及串联系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。

解：（1）所以 221122x A x C B x +=•因而 u B x x A C B A x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡••00121212121 得状态方程: u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=•010*********（2） Θ A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--212043010 b=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010 所以 [b M = Ab ]⎢⎢⎢⎣⎡=0102b A 111- ⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤--0104194 041- ⎥⎥⎥⎦⎤-0194 32)(<=M rank 所以该系统不能控。

所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4412121002A C CA C N 3)(=N rank 所以 该系统是能观的。

（3）所以u x u B x A C B A x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=•1002001430100022211 所以 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==4216101002b A Ab b M 3)(=M rank 所以此时该系统能控。

而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00027001241161230122CA CA C N 32)(<=N rank 所以此时该系统不能观。

（4）[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-==--1043112)()()()(11111s s d B A sI C s U s Y s w []⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=10314341122s s s s =[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+10314123412s s s s 当1S 、2S 按照（2）的连接方式串联时，341)()()(221-+==s s s w s w s w 当1S 、2S 按照（2）的连接方式串联时，341)()()(212-+==s s s w s w s w 由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。

五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：解：（a ）能控性分解：121010143A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，001b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==8310004102b A Ab b M 2)(=M rank ，故该系统不能控。

构造非奇异矩阵010001130C R -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******C R （b ）能观性分解：所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112A C CA C N 32)(<=N rank 所以该系统不能观。

构造非奇异矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1004741111C R ，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10001341137C R 六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。

（1）x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=•1110 （2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？ 解：原点e x =0是系统的唯一平衡状态。

选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即 0)(2221>+=x x x v 当01=x ，02=x 时， 0)(=•x v ；当01≠x ，02=x 时，0)(=•x v ，因此)(x v •为负半定。

根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如：=[1x ]2x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡211212123x x 为正定，而 为负定的，且当∞→x ，有∞→)(x V 。

即该系统在原点处是大范围渐进稳定。

（2） 闭（3） 环系统的状态方程为其齐次方程为 21.x x =显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数可见，.)(x v 在任意0≠x 的值均保持为0，而)(x v 保持为常数 这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，c 为半径的圆。

这时系统为李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。

七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量%5≤δ和峰值时间s t p 5≤。

解：传递函数ss s s s s s U s Y s W 12811)2(1)6(1)()()(23++=++== 又因为二阶系统单位阶跃响应中：根据题意要求%5≤δ和s t p 5≤通过上式解答：684.0=ξ因此设计后的极点分别为：01=s因为传递函数)(s w 没有零极点对消现象，所以原系统能控而且能观。

可直接写出它的能控标准I 型实现。

其闭环系统结构图如下：加入状态反馈阵[]210k k k K =，其系统结构如下图：而闭环系统特征多项式为根据极点值，得期望特征多项式：比较)(λf 和)(*λf 各对应项系数，可得：即 []8.10243.70=K八、系统的状态方程如下：u x x +-=.，10)0(=x ，性能指标泛函dt u x u J )(21)(2102+=⎰分两种情况求最优控制：)(*t u 。

（1） 对u 没有约束解：（1） 原问题为自由终端状态，因而0)1(=λ。

由哈密尔顿函数 )()(2122u x u x f L H +-++=+=λλ 又因为γu g u H T ∂∂-=∂∂=0 所以)()(*t t u λ-=又沿最优轨迹线满足正则方程：边界条件 ,10)0(=x 0)1(=λ通过上式联合解答：（2） 由极小值原理，)(*t u 与)(t λ符号有关，取)(*t u )(sgn 3.0t λ-=)(sgn t λ表示)(t λ的符号，,0,1==λt 取0)(*=t u在]1,0[区间，0)(>t λ，取3.0)(*-=t u 。

下图表示求解结果。

九、试综述最有控制理论的内容及方法，分析比较二次型性能指标泛函与经典控制理论的性能指标。

1．内容：现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，连续的系统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。

现代控制理论以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。

所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外部特性，而且揭示了系统的内部状态和性能。

现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭示其内在规律的基础上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制系统的结构不再限于单纯的闭环形式，现代控制理论的主要内容包括如下五个分支：线性系统理论、建模和系统辨识、最忧滤波理论、最优控制、自适应控制。

2．方法：现代控制理论的方法本质是一种时域方法，它是建立在状态变量描述方法基础上的，它着眼于系统的状态，能更完全的表达系统的动力学性质，在解决最优控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。

3．分析比较指标泛函与经典控制理论的性能指标：性能指标在数学上成为泛函，经典控制理论中的性能指标一般为最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。

现代控制理论的二次型指标泛函的意义：花费尽量少的控制能量，使系统的输出尽可能地跟随期望输出变化。

常见的二次型性能指标分两类：线性调节器和线性伺服器。

假定状态方程：()()()()()x t A t x t B t u t =+g ，00()x t x =g寻求最优控制()u t ，使性能指标达到极小值 01()()()()()()()()2f t T T T f f t J x t Sx t x t Q t x t u t R t u t dt ⎡⎤=++⎣⎦⎰ （9-1） 这是二次型指标泛函，要求S ，()Q t ，()R t 是对称阵，且S 和()Q t 是非负定或正定的，()R t 应是正定的。