建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合{}1,3,5A =，()2,B =+∞，则A B =__________.2. 复数11iz i-=+的实部为___________. 3. 已知球的半径为3，则它的体积为__________. 4. 已知1cos 23πθ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则()cos 2θ=__________.5. 若直线1l ：210mx y ++=与2l ：43y x =+互相垂直，则实数m =__________.6. 已知0a >且1a ≠，设函数2,3()3log ,3a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩的最大值为1，则实数a 的取值范围是___________.7. 若多项式827801278(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x +=+++++++++，则17a a +的值为_________.8. 若抛物线24y x =的准线与曲线221(0)4x y y a +=≥只有一个交点，则实数a 的取值范围是__________. 9. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为_____________.（结果用数字表示） 10. 已知ABC △中，23A π∠=，4AB =，若点D 在边BC 上，且2BD DC =，AD =，则AC 的长为___________.11. 有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________.12. 已知()y f x =是奇函数，定义域为[]1,1-.当0x >时，()211()10,4x f x x Q ααα-⎛⎫=-->∈ ⎪⎝⎭，当函数()()g x f x t =-有3个零点，实数t 的取值范围是__________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.选对得5分，否则一律得零分.13. 已知实数A ，B ，C 满足0ABC ≠，则“0ABC >”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为椭圆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14. 当1m ≠±时，方程组12mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩的解的情况为（ ）A. 仅有唯一解B. 有唯一解或无穷多解C. 无解或无穷多解D. 有唯一解或无解15. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（ ）A. 2B.3C.13D.4316. 已知ABC △的外接圆圆心为O ，6A π∠=，若(),AO xAB yAC x y R =+∈，则x y +的最大值为（ ）A. 4+B. 4-C.2D.4三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，ABC △是边长为4的正三角形，侧棱PB 与底面所成角为3π.（1）求三棱锥P ABC -的体积V ；（2）若D 为PB 中点，求异面直线PA 与CD 所成角的大小.18. 已知函数2()cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()2f A =，1b =，ABC △的面积为a 的值. 19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：()60,02070,20120140x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时. （1）若车流速度v 不小于50千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭.A为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若20OB OC +=，求线段AP 的长；（3）试问：四边形ABDC 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. 已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，212026(1)1n n n a a n a +++=≥+.（1）已知52a =，61013a =，求a 和b 的值； （2）若1a =，求证211202621n n n ba ab +---≤+； （3）求a b +的取值范围.建平中学高三数学练习2021.02.24一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. {}3,52. 03. 36π4.79 5. 12 6. ⎫⎪⎪⎣⎭7. 16 8. ()[),01,-∞+∞ 9. 1680 10. 3 11. 1010 12.{}111,0,144⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13-16：DACB三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.【答案】（1）∵PA ⊥底面ABC ，∴PBA ∠为侧棱PB 与底面所成的角，即3PBA π∠=，∴PA =又144sin 23S π=⨯⨯⨯=111633V Sh ==⨯=，即三棱锥P ABC -的体积为16；（2）取AB 中点E ，连结DE ，CE ，则//DE PA ，∴CDE ∠就是异面直线PA 与CD 所成的角（或其补角），CE =12DE PA ==PA ⊥底面ABC ，∴DE ⊥底面ABC . 在直角三角形CDE 中，tan 1CE CDE DE ∠==，所以4CDE π∠=，所以异面直线PA 与CD 所成角的大小为4π.18.【答案】（1）2()cos 226f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为π，单调递减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）因为()f A =，所以2262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 216A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故6A π=，11sin 1sin 226ABC S bc A c π==⨯⨯⨯=△c =，2222cos 7a b c bc A =+-=，所以a = 19.【答案】（1）由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入70140kv x=--，得070140120k =--，解得1400k =，所以60,020140070,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩. 当020x <≤时，6050v =≥，符合题意； 当20120x <≤时，令14007050140x-≥-，解得70x ≤，所以2070x <≤.综上，070x <≤.答：若车流速度v 不小于50千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,70.（2）由题意得60,020140070,20120140x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩， 当020x <≤时，60y x =为增函数，所以1200y ≤，等号当且仅当20x =成立； 当20120x <≤时，14002020(140)2800707070140140140x x x y x x x x x x --⎛⎫⎡⎤=-=-=+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦28002800702070160(140)140140x x x x ⎧⎫⎛⎫⎡⎤=+-=--+⎨⎬ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦⎩⎭7016070(1603792⎡≤-=-≈⎢⎣.即3792y ≤，等号当且仅当2800140140x x-=-，即()21402800x -=，即140x -=±(]1408720,120x =-≈∈成立.综上，y 的最大值约为3792，此时x 约为87.答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.20.【答案】（1）由题意得24a =，解得2a =.把点Q 的坐标代入椭圆C 的方程22221x y a b +=，得221914a b +=.由于2a =，解得b =22143x y +=. （2）因为20OB OC +=，则得10,2OC OB ⎛=-= ⎝⎭，即C ⎛⎝⎭， 又因为()2,0A -，所以直线AP的方程为)2y x =+. 由222)143y x x y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得65P ⎛⎝⎭，所以AP ==，即线段AP的长为5. （3）由题意知，直线PB 的斜率存在，可设直线PB：y kx =令0y =，得D k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由22143ykx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22340k x +-=，解得0x =（舍去）或234x k =+. 所以P⎝⎭.于是直线AP 的方程为2)y x=+.令0x =得，即C ⎛⎫⎝.所以四边形ABDC的面积等于12212C k AD B ⎛⎫⎛=+=⨯⨯⎝⎭ 即四边形ABDC 的面积为定值 21.【答案】（1）2a =，1013b =； （2）由题意可得：2122026n n n n a a a a ++++=+，则212323120262026n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减可得()()31221n n n n n a a a a a ++++-+=-，即23121n nn n n a a a a a ++++--=+，因为{}n a 是正整数数列，所以212n a ++≥，于是2113111122n n n n n a a a a a a ++---≤-≤≤-1112026120262121n n a b a b b --+-=-=++. （3）由（2）知()()31221n n n n n a a a a a ++++-+=-，①若20n n a a +-=，即{}n a 是周期为2的周期数列，则有120261n n n a a a ++=+，即12026n na a +=.由{}n a 是正整数数列，所以11,2,1013,2026n a +=，经验证，12026a b =⎧⎨=⎩，20261a b =⎧⎨=⎩，21013a b =⎧⎨=⎩，10132a b =⎧⎨=⎩均符合题意. ②若20n n a a +-≠，当1n =时，有()()423311a a a a a -+=-， 当2n =时，有()()534421a a a a a -+=-， 两式相除可得()()33534111a a a a a -+=-+（*），因为{}n a 是正整数数列.所以（*）不可能成立.理由如下：若531a a -≥，则()()333534111a a a a a a -<<+-+；若530a a -<，则()()335341011a a a a a -≤<+-+.综上，必有{}n a 是周期为2的周期数列，且有12026a b =⎧⎨=⎩，20261a b =⎧⎨=⎩，21013a b =⎧⎨=⎩，10132a b =⎧⎨=⎩，因为{}1015,2027a b +∈.。