利息理论第四章课后答案1.某人借款1万元，年利率12% ,采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。
计算第5次偿还款后的贷款余额。
解：.B5 =10000 1.125 - 2000乌0.12=4917.72.甲借款X，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的利息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X。
解：x(1.08T —1)—(卫、—x)=468.05,x =700.14ai010.083.—笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元, 每年计息4次的年名义利率为10%。
若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额r 10 04解: B4=L(10) -1500S10^ =1200, L =16514.37 4~4~或L=12000v41500a 10%=16514.374—4_4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i，则该借款人每年需支出额为1.5X，计算i。
10000=（1.5x-20000i）S 二i =6.9%5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前 5 年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。
解: 过去法：B；=1000（2a词a^+唧（1 i）7 -1000[4S5（1 i）2 3乌]=1000(2a^+a诃+a^) (1+i) 7-1000(4S^-S2)未来法：B7 =3000a32000a5V^1000(2a8a3)6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若B t，B t”，B t+2，B t+3为4个连续期间末的贷款余额，证明：（1）2 (B t-B t+1)( B t+2-B t+3)= ( B t+1-B t+2)（2）B t +B t+3 % B t+1 +B t+2解: B t^pa n」B t 1=P a n_Ld B t2=P a n_t^ B心二卩弘」」(1) (3 -B t 1)(B t 2 P 3)=卩丁卷-a L)(a;r^ -孔日2 n 4 .1 n 4 .3或二p v 刑0]或=p2(V n4^a^)2或=(B1-B t2)2(2) B t _Bt 彳：：B t 2 - B t 3 = v n_t4 :: V n」；=V2：17.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还,每月末还款一次，年利率满足i+i4=i.5。
计算40 次后的贷款余额。
解: 设月利率为i o,1(1+i o)12= 1+i=(1.5) 4二i 0=0.8483 00100000=p a御。
:p=1331.471B；0=p a观=77103.88.某可调利率的抵押贷款额为23115元，为期10 年，每季末还款1000元，初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。
在进行完第12 次还款后，贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%，每季度末保持还款1000元，计算第24次还款后的贷款余额。
解: i 二12% =3%, j 二14% =3.5%4 4r 12B2 =23115(1+3% )—100(^3% =18760r 12B 18760 1 j -1000S 袒=137529.某贷款分20年均衡偿还，年利率为9%，在哪一次偿还款中，偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。
解：设k年时最接近，k年前贷款余额为a寸1一利息i a^ = 1-严1，本金：1—( 1 —v n"1)令 1 —v n* 1= 1(1 —v")，得110.张某借款1000元，年利率为i，计划在第6 年末还款1000元，第12年末还款1366.87元。
在第一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额解：1000 =1000v6• 1366.87V 仁：v6 =0.5644479 31000(1 +i ) —1000(1 +i ) =1026.9611.某贷款为期5年，每季末偿还一次，每季计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。
解：还款本金：R严1第3次还款中的本金部分：P3=R V20-3"=100= R=155.96 则最后5次还款中的本金部分：155.96 V v2 v3 v4 V5 = 724.5912某借款人每年末还款额为1,为期20年，在第7次偿还时，该借款人额外偿还一部分贷款，额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分，若后面的还款照原来进行，直至贷款全部清偿，证明整个贷款期节省的利息为1-V13 解：第7次还款的额外部分为V20"V13V1，以后按原来进行偿还，即每次还款按原计划进行，每次还 1,到第20次还 款时，已经不需要偿还1,设需偿还X玄方門2加=X1確 X则最后一次不要还了，有19+v 13，原利息为20 那么节省的利息为1-v 1313.某贷款为期35年，分期均衡偿还，没年末还 款一次，第8次还款中的利息部分135元，第 22次还款中的利息部分为108元，计算第29 次还款中的利息部分。
解： R 1-v28 = 135且 R 1-v 14 =108 则 R 1 -V 7 ：‘； = 7214丄、N 两笔贷款额相等，分30年偿还，年利 率为4%，L 贷款每次还款额相等，N 贷款的 30次还款中，每次还款中所包含的本金部分相 等，包含的另一部分是基于贷款余额所产生的 利息，L 贷款的偿还款首次超过 N 贷款偿还款 的时间为t ，计算t 。
解：设贷款额为w ，p 为N 贷款中每次还款的本 14 1 v 135 108金部分— w30p = w 二 p = 30 ||川 | 1 30 L 贷款每次偿还额都相等，为上a 30]i由( 1) (2)得:t=12.67 1315.某项贷款为125000元，期限为30年，每月 末分期偿还，每次偿还额比前一次偿还额多0.2%，第一次偿还额为P ,年利率为5%，计 算P. 解:125000=®+p (1+0.2%)o 2 + 川 P(1 + 0.2% 汀。
360则 p=493.8516.某贷款为期五年，每半年末还款额为1。
每年 计息2次的年名义利率为i ，计算第8次还款 中的本金部分。
解: 仃.甲借款人每年末还款3000元。
若第三次还款 中的利息部分为2000元，每年计息4次的年 名义利率为10%，计算第6次还款中的本金部 分。
a 30i> P i w — t —1 p |川)| 2=v 3解；3000 1-v n a =2000 . //二13第6次还款中的本金部分为3000v"』= —=13404.888v18.某投资人购买一种确定年金，每季末可得500 元，共10年，年利率为8%，计算该投资人的利息收入。
解：设每季度利率为i4(1+i ) =1.08 二1 + = 1.019a40i500 40 -5008丽］=6186.1419.甲购买住宅，价值10万元，分期按月付款，为期30年，首次付款发生在购房第一月末，年利率为5%,10年后。
每次付款额增加325.40 元。
以便较快还完购房款，计算整个还款期间的利息支出。
解：设每月利率为i.12(1 +i )=1.05二1 +i =1.004100000 = pa 360 戶p =530.005120100000(1+i ) — pS^j=(p十325.4)a tt 12020.乙贷款利率每年为5%，每年末还款一次，共10年，首期还款为200元，以后每期比前期增加10元，计算第5此还款中的利息部分。
解；L 10 la 9v =1860.86B；=L（1+i f —（200乌+10（ IS ）3）= 1337.84rI 5=iB；=5% 1337.84 =66.8921.某贷款分10年偿还，首年末偿还额为当年贷款利息P第2年末偿还额为2P第3年末偿还额为3P,以此类推，贷款利率为i证明：怖=a刁证明：L = p |a佰—iL = p1=P =ip la诃—la币二］a〒22.某贷款分10期偿还，首期偿还为10,第二期为9,依此类推，第10次还款为1,证明第6 次还款中的利息部分：5-a a。
解L=（Da）诃，B P=（Da））l6=iB5=i （Da））=5-a^23.甲借款2000元，年利率10%，每年末还款一次，首次还款额为400元，以后每次还款额为400元，以后每次比上次多4%，最后的还款零头在最后一次规则还款一年后偿还，计算（1）第三年末的贷款余额（还款后）；（2）第三次还款中的本金部分。
解：( 1 ) 200(X1+10%)3-400 (1+10%)2+ (1+4%) (1+10%)+ (1+4%)2=1287.76(2 ) B；=2000(1 10% ) 2-400[(1+10%) + (1+4% ) ]=1564(3) 丨3二iB；= 1564 10%=156.42P3=R3_I3=400 (1 4%) -156.4 =276.2424.甲在一基金中投资，年利率为i。
首年末，甲从基金中提出当年所得利息的162.5%;第二年末，甲从基金中提出当年所得利息的 2162.5%，…，至第六年末，甲从基金中提出当年所得利息的16 162.5%，基金投资全部取完，计算i。
解：设在基金中投资为LL (1+i-1.625) (1+i-2 1.625) (1+i-31.625) (1+i-16 1.625) =0则i= 1=0.0416R.625-125.某贷款额为a25，采用连续还款公式每年还款为1,共25年，若年贷款利率为5%。
计算第6年至第10年的利息支出额。
25 t10 10 n-t c 10 ,解：6 '晌=6、0 dSd. ' 矿d t=2.25226证明并解释:d+i )t -s t =a n-ta 口 a n n -t 1- -ta (1+i )-St!= + =a nr.（1+i ）t -St =an-t a n a n27.某贷款为1,期限为10年，采取连续还款方式，每年的还款额使得这 10年的贷款呈线性 关系，即连续由1减至0，贷款年利率按=0.1 计，计算：（1）前5年还款中的本金部分；（2） 前5年还款中的利息部分。
解: B t =1-1)B 。
- B5 = 1 - 1 — ◎ ] = 0.5'、、10 丿28.某人借款为1万元，为期25 年,年利率5%， 采用偿债基金还款方式，偿债基金存款利率为 4%，计算第13次付款中净利息与第9年偿债 基金增长额之和。