1 ≤ 2018At(a + 1) |b1 + b2 + · · · + bt|
1 =
2018t(a + 1)
1
≤
.
2018n
. 题
IMO 金
解题
ai 大
.
题 5. n
数
数
b1 = 0, b2, . . . , bn
1 ≤ u, v ≤ n
1
1
u (b1 + b2 + · · · + bu) < v (b1 + b2 + · · · + bv + 1) .
大
.
.
2 解题
+1 题
2019 数 2019
大
−1 大
0.
大
解
.
. .
.
解题
1
题 3. f
f
f
.
.
f.
1. f
.
f
.
.
2.
A, B, C
f (A)f (B) = f (A)f (C) AB = AC.
ABC
I IBC
J f (A)f (B) = f (A)f (C)
f (A), f (I), f (J)
x2 − 1 x2 + 1
数,
(
数
).
2
a2 − b2 = c2 + d2 ab = cd
数解.
2
数 a, b, c, d
a2 − b2 = c2 + d2, ab = cd(,
) 数解 (a, b, c, d) a
.
数 p | (a, b), p | cd, p | c2 + d2,
p | c, p | d,
f
(y
)β
.
0
f
.
y0,
数
d,
yn
=
y0
+
d
−
d 2n
,
f (yn+1)
≤
C
2(n+1)α dα
f
(yn)β
.
f (yn)
≤
f (y0 2xn
)
(n
≥
0),
n=0
.
x. n(≥ 0) ,
f (yn+1)
≤
Cf (y0)β−1 dα
f (y0) . 2xnβ−(n+1)α
,
2xnβ−(n+1)α > 2x(n+1),
b2
ab + < ca
bc
+ ca = ca +(b(c + b2 < ca < c + a
)a)2 ≡
ca
−
b2 (mod b2
x=
(a + − ca
b
+ c)) <0
2
c + a − 2b
a + b + c | 2(b2 − ca). .
b2 > ca
c + a > 2b
2(b2 − ca) ≥ a + b + c
pα1 | n2 + 1.
1 pα1 (pα1 − 1) = pα2 + · · · + pαn , 2
pα2 | pα1 .
pα1 + pα2 ≥ 1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1),
pα1
|
n2
+ 1,
n2 + 1 pα1
≤
2n2 + 2 n(n + 1)
<
2,
n2 + 1 = pα1 ,
(b1, b2, . . . , bn)
数.
解
Su = b1 + b2 + · · · + bu,
v = 1, Sv + 1
v
Su < u. v=w
S1 = 0 {Si} ,
数 ,
Su
<
Sw
+1
≤
Su
+1 ,
u
w
u
4
Su
<
Sv
+1 .
u
v
w.
Su
u Sw + 1
数,
, Sw + 1 u
.
w
w
大 数 (Sw + 1, w) = d > 1, Sw/d = (Sw + 1)/d − 1, w
b2 − ca 1 a + b + c 1
x=
≥·
>.
c + a − 2b 2 c + a − 2b 2
2b2 − b − 1 a = 1, c =
3
b ≡ 1 (mod 3)
lim
b2 − ca 1 =,
b→+∞ c + a − 2b 2
1
数.
2
解题
题 2.
2019
.
.
+1
l
2 2019
大2
.
.
−1 0l
21+α1 | n2 21+α1 | n2 + 1, 21+α1 ≥ n(n + 1) > max{n2, n2 + 1},
.
,
(p, n) = (p, 1), (5, 2).
解题
5
题 7.
数 f : R≥0 → R≥0 f
.
数 C > 0, α > 0, β > 1
f (x)
≤
(x
C − y)α
x2 + ax + b, Q(x)
deg P ,
数
.
,
数 β, γ
(x + 1)β(x2 + ax + b) 数 , (x + 1)γQ(x)
数,
(x + 1)β+γ P (x)
数.
deg P = 2
,
P (x) = (x − a)2 + b,
b + a2 > 0, (x + 1)k(x − a)2 + b xn 数 An.
0,
f (y0 + d) = 0.
数学 析 题 , 4.1
. De Giorgi ,
x>y≥0 解题
题 8.
x4 − 20200y2 = 1 Z2+
解.
:
1
x4 − 2y2 = 1
数解.
1
x4 − 2y2 = 1, (x2 − 1)(x2 + 1) = 2y2, (x2 − 1, x2 + 1) = 2,
数n≤k
数m≤l
数k
∑k ai = 1,
i=1
数 a1, a2, · · · , ak
∑n
1
aj sin(jθm)
≤
. 2018n
j=1
数
数.
ai 数
大
.
P (x), P
数,
数 α,
(x + 1)αP (x)
deg P = 1 .
deg P = 2
,
deg P > 2 ,
,
P (x) = (x2 + ax + b)Q(x),
pα2 ≥ n2 + n > pα1 ,
pα1 + pα2 ≥ 1 + 2 + · · · + 2n = n(2n + 1),
,
Si
,
解题 n数
.
pα2 ≥ n2 + n − 1,
pα2 | n2(n2 + 1), p=2 ,
1 n2(n2 + 1) − pα1 = 1 (n2 − 2)(n2 + 1) = pα2 + · · · + pαn ,
J IBC
AI J
f (ABC)
.
6.
.
7.
f
.
8. A, B, C
B A, C
B
D CD = CA
E AE = AC.
D, E
f (A), f (B), f (C)
f (B) f (A), f (C) .
.
9.
.
数
数
.
10.
.
.
.
.
.
f
.
1. f
. A, B, C
D, E DE
D, E, X
X
.
f (A), f (B), f (C)
+
a 1
+
b
+
(k
−
n
n(n − 1) + 1)(k −
n
+
2)
=
(a
−
k
n −n
+
)2 1
+
b
−
(k
−
n
n(k + 1) + 1)2(k −
n
+
2)
>
0 · · · · · · (1)
n−1
n−1
2a <
, (1)
2aБайду номын сангаас≥