2018年北京大学金秋营数学试题
1、设△ABC 的垂心为H ，中点三角形的内切圆为T ，圆心为S 。

直线l ‖AB ，m‖AC ，且都与T 相切（AB,l ；AC,m 分别在S 同侧），l 与m 交于T 。

射线AT 上一点N 满足AN=2AT ，Q 是优弧（BAC ）的中点，点R 让四边形AHRQ 成为平行四边形。

证明：HR ⊥RN 。

2、给定整数k ＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+34
3k ⎢⎥+⎢⎥
⎣
⎦+1组整数解（m, n, r ）.
3、给定正整数k. A,B,C 三个人玩一个游戏（A 一边,B 和C 一边）：A 先从集合{1，2，…，n}中取k 个数交给B ，B 从这k 个数中选择k-1个有序地给C ，若C 能够确定B 没给C 的数是什么，则B,C 赢了，求最大的正整数n ，使B,C 有必胜策略。

4、确定全部f ∈Z[x](deg f≤2),使存在g ∈Z[x],满足x 3-1|f(x)g(x)-1.
6、平面上是否存在某个有限点集A 和某个有限直线集B ，满足A 中的每个点恰好在B 中三条直线上，且B 中每条直线恰好经过A 中的三个点。

8、设k∈Z+, S={(m+1
k ,n)|m,n∈Z},T={(m+ ,n)|m+
2
k, n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k, 使得存在
a,b,c,d∈R及映射
F:R2→R2, F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
【部分试题参考解答】
第1题参考解答
第2题参考解答
第5题参考解答。