基于排队论的麦当劳服务系统优化研究摘要：本论文通过实际测量数据的拟合，验证麦当劳的顾客到达分布为泊松分布，服务时间服从指数分布。

运用排队理论建立服务窗口与顾客流量需求相匹配的模型，根据顾客量的变化情况给出服务窗口的合理数量，并提出了几点建议、措施。

关键词：麦当劳；服务窗口；排队论；建议0 引言随着人们生活节奏的加快，越来越多的人选择快餐来节约时间。

麦当劳作为快餐服务行业的代表，逐渐受到大多数年轻群体的喜爱。

通常，人们步入麦当劳就餐会不可避免的遇到排队现象，主要原因在于顾客到达的时间和接受服务的时间都是不确定的。

增加人员和服务设备势必会缓解排队现象，但是会导致投资的增加，也在一定程度上导致了人员和设备空闲的浪费。

如果服务设备过少又会导致排队现象的加重，丧失潜在顾客，收益的减少等风险。

如何找到一个适当的平衡点是管理人员的重要工作之一。

排队理论及其相关模型适合解决排队问题，为解决实际中遇到的难题提供了有效手段。

1 麦当劳就餐排队分析在麦当劳就餐服务系统是一个典型的随机服务系统，其主要包括顾客到达过程、排队规则、服务机构3个基本组成部分。

1）顾客到达过程。

顾客的到达时间只和时间区间的长度有关，不相交的时间区间内到达麦当劳的顾客是独立的，而且顾客到达是一个随机的过程。

2）排队规则。

到达顾客以先到先服务的原则接受服务，且是等待制。

顾客到达麦当劳时，可以根据实际排队的情况选择相对较短的队列接受服务。

有空闲的窗口时，顾客可以直接接受服务，服务结束后离开服务台；若到达时，没有服务窗口空闲，就需要排队等候服务。

3）就餐服务窗口。

它是一个时间确定型的，概率分布为指数分布。

2 相关数据分析与检验(1)顾客到达率的达分布检验一般顾客到达属离散型分布，经验上常用泊松分布拟合。

对于顾客的到达是否遵循泊松分布，相关文献中缺少顾客实际到达观测数据的实际验证研究。

本文中，通过采集顾客的实际到达数据，采用非参数检验方法检验顾客到达的统计分布特性。

以2013年3月在武汉市未来城麦当劳餐饮服务店为研究对象，现场测试并记录了顾客单位时间到达麦当劳的数量，集体数据如下表Table 1 所示。

Table 1 麦当劳顾客单位到达时间统计时间组距到达人数时间组距到达人数11:29-11：31511:59-12：01611:31-11：33712:01-12：03211:33-11：35412:03-12：05111:35-11：37012:05-12：07211:37-11：39112:07-12：09411:39-11：41612:09-12：11511:41-11：43212:11-12：13511:43-11：45512:13-12：15711:45-11：47212:15-12：17511:47-11：49712:17-12：19311:49-11：51212:19-12：21611:51-11：53712:21-12：231211:53-11：55612:23-12：25511:55-11：57212:25-12：27511:57-11：59712:27-12：292基于Table1的数据，运用，运用柯尔莫哥洛夫斯米洛夫检验方法(Kolmogorov Smirnov，1-K S检验)，利用SPSS软件分析，对麦当劳的顾客到达是否服从泊松分布进行检验，计算得出样本数据的均值为4.43，最大正差值为0.152，最大负差值为0.111，泊松检验参数双尾渐近概率值为0.491，大于0.05(即P>0.05 )，通过显著性检验，可以认为顾客到达服从泊松分布。

Table 2 顾客到达时间 Kolmogorov -Smirnov 检验（2）λ值的确定由于Poisson 分布中的参数λ是未知的，需采用极大似然估计法来估计这个参数。

设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，即P (X =k )= !ke k λλ-，k =0,1,2….12,,...n X X X 为来自总体X 的样本，12,,...n x x x 是相应样本12,,...n X X X 的一个样本值，则样本的极大似然函数是11()()!innii i i L P X x e i λλ-=====∏∏对上式两边取对数得11ln ()ln ln(!)n ni i i i L x n x λλλ===--∑∑，令1ln ()nii xd L n d λλλ==-=∑则λ的最大似然估计值为11ˆn i i x x n λ===∑由于样本的均值为4.43,统计的时间间隔为2分钟，则ˆλ=2.22人/min 。

（3）顾客服务时间的检验根据原始数据，我们可以计算出平均服务时间为150.31s. 服务时间统计结果见表Table 3Table 3 麦当劳顾客的服务时间统计运用SPSS 软件对数据进行处理，对麦当劳的顾客服务时间是否服从指数分布进行检验，计算得出样本数据的均值为7.25，最大正差值为0.469，最大负差值为0.089，泊松检验参数双尾渐近概率值为0.342，大于0.05，通过显著性检验，可以认为顾客到达服从指数分布。

结果如下：Table 4 顾客服务时间 Kolmogorov -Smirnov 检验 参数描述服务时间统计N5a 指数参数。

b, c 均值 7.25 最极端差别绝对值 .469 正差值 .469 负差值-.089 Kolmogorov -Smirnov Z .939 渐近显著性(双侧) .3422) μ值的确定负指数分布中包含参数μ，我们还是采用极大似然来估计该参数值。

设总体T 服从负指数分布，即,0()0,t<0t e t f t μμ-⎧≥=⎨⎩12,,...n T T T 为来自总体T 的样本，12,,...n t t t 是相应于12,,...n T T T 的一个样本值，则样本的似然函数是：11()(,)in nt i i i L P t e μμθμ-====∏∏对上式两边取对数得：1ln ()ln ()ni i L n t λμμ==-∑，令1ln ()0ni i d L nt d μλμ==-=∑则μ的最大似然估计值为11ˆ/ni i n t tμ===∑ 由t =150.31s 知ˆ 2.505μ=3 麦当劳服务窗口排队模型的建立由于顾客到达率服从泊松分布，顾客的服务时间服从负指数分布，其分布函数为:(),0t f t e t ββ-=≥,其中1/βλ=，λ表示一定时间内到达顾客的数目。

可以将其设定为M/M/s 排队系统，M/M/s 分布表示到达时间为泊松分布。

服务时间为指数分布，服务设备的数量。

对于每个顾客可以用3个变量来描述，即：与前一个顾客到达时间的间隔，排队时间及接受服务的时间。

顾客到达的时间间隔t 、接受服务时间μ、服务窗口s 和单位时间内顾客到达数量λ为输入值，模型的计算值为顾客排队等待时间（包括等待时间q W 、逗留时间s W ）和队列长度（包括队长s L 队列长q L ）变化，令 /s ρλμ=模型的特征指标如下： 1）服务窗口的空闲概率0P011/)/)()!!n s s n P s n s s λμλμμμλ-==+-∑（（ 式中：n 为s 的过程变量，n =0,1,…s 2）队列中平均等待的顾客数量q L2(/)(1)!(s 1)s q L P s λμλμμ=--3）服务区的平均旅客数量s L/s q L L λμ=+4）顾客排队的平均等待时间q W q W =/q L λ5)顾客排队的平均逗留时间s Wq W =+1/q W μ4相关计算与结果分析（1）由前知：λ=x =2.22人/min ；μ=1t =2.505人/min ；s P 0 ρ L q /人 L s /人 W q /min W s /min 1 0.1138 0.8862 6.9032 7.7895 3.1096 3.5088 2 0.3859 0.4431 0.2165 1.103 0.0975 0.4967 3 0.4092 0.2954 0.0282 0.9145 0.0127 0.4119 4 0.41190.22160.00390.89010.00170.4009（2）s 的最优解的确定、分析模型中的s 的最优解，可以通过建立s 的目标函数来求解，由于ρ<1,系统处于稳定的状态，此时单位时间的全部费用的期望值：Z()s s ws s C L C ⨯+⨯=式子中：s 表示服务台的数量，s C 是服务台服务员的单位时间服务成本，s L 为顾客的平均数量，w C 是顾客停留在服务系统中的等待的单位时间成本。

由于s 只可以去整数值，所以最优的服务窗口数目*s 不能用()f s 对s 的微分法求得，只能用边际分析法求得。

根据Z(s)最小的特点，有：****()(1)()(1)z s z s z s z s ⎧≤-⎨≤+⎩； 将Z （s ）带入式中有：********()(1)(1)()(1)(1)s s w s s ws s w s s wL C L C L C L C ⎧⋅+⋅≤-⋅+-⋅⎨⋅+⋅≤+⋅++⋅⎩s C s s C s s C s s C s ， 化简后得：****()(1)/(1)()s s s w s s L L C L L -+≤≤--s s C s s依次求s=2,3,4时的L 值，并作两相邻的L 值之差，因为/s w C C 是已知数，根据这个数落在那个不等式的区间就可以确定*s 的最优解，这个区间就是最优区间。

1）s C 和w C 值的确定①在武汉地区，麦当劳餐饮服务中， 从事服务业工作的员工的平均月工资为2200元。

每天正常工作7小时，休息1小时，采用三班制轮流值班。

因此，可以确定每个服务台的单位时间成本，s C =2200/(30*8*60)=0.1528元/min ；②w C 是顾客在系统中等待造成的损失。

一旦顾客在系统中停留的时间超过其能够忍耐的时间，顾客就会离去，造成一定程度的损失。

通过调查问卷或者查询系统中顾客每笔消费，我们可以大体知道平均的消费水平，以消费金额除以顾客的消费时间即w C 的值。

本文中w C 的统计计算值为5.25元/min. 2）由上可知/s w C C =0.1528/5.25=0.0291。

3）最优解的求解：4）计算结果分析/s w C C 落在区间（0.0244~0.1885）中，满足边际分析要求。

此时，*s =3时，总费用达到最小，*z=5.259 （元）。

目前，服务系统的服务台数s=2，所以需要再增加一个服务窗口。

5 结束语本文通过实际调查和测量数据，用SPSS软件检验通过了麦当劳顾客的到达率分布为Poisson分布，顾客的服务时间服从指数分布；通过M/M/s模型的建立与费用优化配置，使该服务系统达到最优状态。