三、乘客购票排队模型的建立及性能分析
二、排队系统的主要指标
研究排队系统的目的是通过了解系统运行的状况， 对系统进行调 整和控制，使系统处于最优运行状态。因此，首先需要弄清系统的运行 状况。描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有： １ 、队长和排队长（队列长） 队长是指系统中的平均顾客数（排队等待的顾客数与正在接受服 务的顾客数之和），其期望值记为Ｌｓ。 排队长是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数， 其期望值记 为Ｌ ｑ 。若正在接受服务的顾客数记为Ｌ ｎ ，它们之间的关系为： Ｌｓ＝Ｌｎ＋Ｌ ｑ 式２ － １ 队长关系式 队长和排队长一般都是随机变量。希望能确定它们的分布， 或至 少能确定它们的平均值（即平均队长和平均排队长）及有关的矩（如方差 等）。队长的分布是顾客和服务员都关心的，特别是对系统设计人员来 说，如果能知道队长的分布，就能确定队长超过某个数的概率，从而确定 合理的等待空间。 ２ 、等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止，这段时间称为等待时间， 其期望值记为Ｗｑ，是随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常希 望等待时间越短越好。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止， 这段 时间称为逗留时间，其期望值记为Ｗｓ，也是随机变量，同样为顾客非常关 心。另外，把平均服务时间记为τ，则三者之间的关系表现为： Ｗｓ ＝ Ｗｑ ＋ τ 式２ － ２ 逗留时间关系式 对这两个指标的研究当然是希望能确定它们的分布， 或至少能知 道顾客的平均等待时间和平均逗留时间。 ３ 、忙期 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起， 到服务机构再次成为
理论探讨
基于排队论的南京站大客流组织优化探析
娄树蓉 张 晋 南京地下铁道有限责任公司 江苏 南京 ２１０００８
【摘 要】随着轨道交通行业的快速发展，地铁客流量也在不断攀升，每逢节假日出现大客流时，重点车站会出现大量乘客排队购票的情况。在这种情况下，车站一般会 采用开放人工售票窗口的方式提高服务率。乘客总是希望能开放的窗口数量越多越好，车站在客流组织过程中虽然也想更好的为乘客服务，但由于站务中心人员紧张，人工售 票窗口不可能无限制的开放。 本文以运筹学中的排队论原理为基础，首先以１号线南京站开通至今的最大断面客流为研究对象，建立了地铁南京站购票多窗口等待制排队模型，其次依据此模型计算出了 开放人工售票窗口数量的最优解，最后对计算结果进行了研究和分析，为车站大客流运输组织方案的优化提供了有力的数据论证。 【关键词】客流组织 排队论模型 Ｍ／Ｍ／Ｃ模型 客流组织优化
引言
随着城市的快速发展，地铁作为一种特殊的交通运输方式，以其运 量大、速度快、能耗低、安全、准点等优势， 成为很多市民首选的出 行工具。正是由于地铁的以上特点， 在一些大型商业圈、火车站、长 途汽车站附近的地铁站， 经常会出现大客流。１ 号线南京站紧邻南京 火车站，并靠近中央门长途客运站，车站地面公交线路共有５０条，是进出 南京市旅客的一个重要集散地，客流量较大。尤其在节假日期间，客流 增长尤为明显。在多次的大客流组织工作中不难发现， 以目前南京地 铁１ 号线的运输能力和闸机通过速度是完全可以满足客流需求的， 相 对而言， 乘客购票的过程无疑是疏导客流工作的最大瓶颈。在大客流 组织的过程中，车站通常会采用开放人工售票窗口，售卖应急纸票的方 式，以节省乘客的购票时间，加快客流的疏散速度。 然而目前，在站务中心人员紧张的情况下，人工售票窗口不可能无 限制的开放。如何合理的确定开放人工售票窗口的数量， 从而达到既 能保证客流顺利疏导，又能最大程度节省人力的效果，成为大客流组织 工作优化的重点问题。这就需要对乘客排队购票情况建立数学模型 进行分析研究。
一、排队系统的组成
任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图１ － １ 表示。从图 １－１可知，每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列 排队等待接受服务， 然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服 务， 获得服务的顾客立即离开。通常， 排队系统都有输入过程、服务 台、服务时间、服务规则等３ 个组成部分。
服务。 （３）服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服 务时间是一随机变量， 其概率分布有定长分布、负指数分布、Ｋ 级爱 尔良分布、一般分布（所有顾客的服务时间都是独立同分布的）等等。 ３ 、服务时间 服务时间是指顾客接收服务的时间规律。顾客接受服务的时间 规律往往也通过概率分布描述。一般来说， 简单的排队系统的服务时 间往往服从负指数分布，即每位顾客接受服务的时间是独立同分布的， 其分布函数为Ｂ（ｔ）＝１－ｅ－μｔ（ｔ≥０），其中ｍ＞０为一常数，代表单位时间 的平均服务率， 而１／ｍ则是平均服务时间。 ４ 、服务规则 这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分 为损失制、等待制和混合制等３ 大类。 （１）损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被 先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重 新拔号， 这种服务规则即为损失制。 （２）等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加 入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等 待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则： ①先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务， 这是最 普遍的情形。 ②后到先服务。仓库中迭放的钢材，后迭放上去的都先被领走，就 属于这种情况。 ③随机服务。即当服务台空闲时， 不按照排队序列而随意指定某 个顾客去接受服务， 如电话交换台接通呼叫电话就是一例。 ④优先权服务。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重 要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等， 均属于此种服务 规则。
２０１构连续忙的时间。这是个随机变量，是服 务员最为关心的指标， 因为它关系到服务员的服务强度。 式３－５ 队长计算式 ３ 、性能分析 以目前南京站最大断面客流量来计算，平均到达率λ＝６８００×０．７５／ ６０＝８５人／分钟。 （１）以开放５个人工售票窗口计算，窗口数Ｃ＝２１个， 平均服务率μ＝（１６×２＋１２×５）／２１＝４．３８人／分钟， 系统负荷强度系数ρ＝ λ／ Ｃμ＝８５／（２１×４．３８）＝０．９２。 代入公式计算可得： 所有窗口都空闲的概率： Ｐ ０＝２．５０×１０ －９ 队列长：Ｌｑ＝７．１３ 队长：Ｌｓ＝Ｌｎ＋Ｌｑ＝Ｌｑ＋ρ＝７．１３＋０．９２＝８．０５ 在开放５个窗口的情况下，这样的排队系统其主要的数量指标为： 乘客平均排队的队列长是７．１３，总队长８．０５，尚且无法满足客流组织的 要求。 （２）以开放６个人工售票窗口计算，窗口数Ｃ ＝２２个， 平均服务率μ＝（１６×２＋１２×６）／２２＝４．７２人／分钟， 系统负荷强度系数ρ＝λ／ Ｃμ＝８５／（２２×４．７２）＝０．８２。 代入公式计算可得： 所有窗口都空闲的概率： Ｐ ０ ＝１．３２×１０ －８ 队列长：Ｌｑ＝１．２９ 队长：Ｌｓ＝Ｌ ｎ＋Ｌｑ＝ Ｌｑ＋ρ＝１．２９＋０．８２＝２．１１ 在开放６个窗口的情况下，这样的排队系统其主要的数量指标为： 乘客平均排队的队列长是１．２９，总队长为２．１１，已经可以满足客流组织 的要求。而且在计算中不难看出，在开放５个窗口的基础上，队列长Ｌｑ 已经接近１，每增加一个人工售票窗口，对队列长的影响并不明显，对客 流疏导的意义也不大。开放６个窗口，既能符合目前南京站大客流的运 输需要， 又不会造成人员的浪费， 是现有客流状况下的最优解。 ４ 、排队系统的过程控制 排队论的计算是基于一种理想化的假定， 假定所有乘客会按照一 定的规律到达，假定所有乘客了解整个服务流程，假定乘客会自主的选 择服务窗口。现实情况却绝非如此，乘客的构成群体复杂多样，这就造 成了整个排队系统也变得复杂多样。但是可以通过对现场的控制，使 客流接近排队论中的客流规律。 （１ ）控制乘客进站速率 排队论模型是基于系统中的输入过程符合泊松分布的前提进行 分析和研究的，这样的输入过程使整个排队系统更稳定，更高效。但在 实际的运输组织工作中， 可以发现南京站的进站客流量并不符合柏松 分布，而是受火车站客流量影响，呈潮汐式特点。在这种情况下，如果无 限制让乘客进站，非但不能快速的疏导客流进站，相反只会造成站厅客 流的不断挤压，形成拥堵。站厅乘客挤压的越多，疏散速度越慢。因此， 必须对进站客流进行现场控制，使输入过程接近柏松分布。首先，需要 做好对进站客流的预测工作。要对节假日当天的火车时刻表进行分 析和研究， 重点关注列车高密度到达的时间段及临时列车到达的时间 段，以便在重点时间段到来之前做好人员及备品准备。其次，在现场做 好出入口分流限流工作。在靠近火车站出站口最近的４ 号出入口， 安 排专人，摆放好铁马，拉起警戒绳，控制乘客进站速度，同时树立水牌、 利用喊话器引导乘客从地面绕行至１ 号口进站， 使进站客流有所缓冲， 平稳均匀的进站。 （２ ）加强对站厅乘客的引导 由于南京站站厅地理位置的局限性， 临时售票点的位置在站厅中 并不明显， 而且大部分乘客并不知道在大客流情况下车站会开放人工 售票窗口，因此在无人引导的情况下，大部分乘客不会自主选择服务率 更好的人工售票窗口购票。这就需要我们的工作人员不断的引导乘 客前往人工售票窗口购票， 通过人工干预的方式迫使系统尽快达到稳 态并长期保持稳态。此外，对于特殊乘客群体，如携带大体积行李的乘 客、携老人小孩儿的乘客、大批团体乘客、残疾乘客等等， 对此特殊 乘客群体要给予特别引导，尽快将其妥善安排，避免因人、物堆积，阻碍 通行， 导致排队系统拥堵。 （３ ）提高系统服务率 以目前的服务窗口状态来看，人工售票窗口的服务率取决于售票员 的业务水平，虽有好坏之分，但总体差别不大。但自动售票机的情况大 不相同，在购票的选择过程中，如果采用快捷购票，只需选择相应票价及 车票张数投币即可，而部分乘客因不了解快捷购票功能，抑或因不知晓 所乘坐里程的票价是多少而无法使用快捷购票功能，从而导致了服务时 间大大延长。如果在每台售票机边安排１名志愿者，协助乘客采用快捷 购票功能购票，会将服务率提高３０％－４０％。在节假日大客流期间，可以向 各大高校招募学生志愿者协助服务， 从而大大提高系统的服务率。
图１－１ 排队过程示意图 １ 、输入过程 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有 时也把它称为顾客流． 一般可以从３ 个方面来描述—个输入过程。 （１）顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客 源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可 以认为是无限的， 而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。 （２）顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个 到达， 还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库 存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客， 那么这种顾客则 是成批到达的。 （３）顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这 是求解排队系统有关运行指标问题时， 首先需要确定的指标。这也可 以理解为在一定的时间间隔内到达Ｋ 个顾客（ Ｋ ＝１ 、２、Ｌ） 的概率是多 大。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流（ 最简单 流） 、爱尔朗分布等若干种。 ２ 、服务台 服务台可以从以下３ 方面来描述： （１）服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多 服务台之分。从构成形式上看， 服务台有： ①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式， 以及多队——多服务台并串 联混合式等等。 （２）服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服 务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批