所以f( t )的傅里叶级数为
f
(t)
4A π
(sin
1t
1 sin 3
31t
1 5
sin
51t
)
周期方波的分解与合成 ：
信号与系统 3.2-5
图3
周期三角波的分解与合成 ：
信号与系统 3.2-6
图4
动画5：谐波分解
信号与系统 3.2-7
周期矩形脉冲和锯齿波的傅氏级数表示
f (t) 1
T
0.5 0.5
an
2 T
T 0
f (t) cos n1tdt
bn：正弦幅度， An：谐波幅度，
2
bn T
T 0
f (t)sin n1tdt
An
a
2 n
bn2
信号与系统 3.2-2 图 1 锯齿波的三角级数合成
信号与系统 3.2-3
图2 4种非正弦周期信号的分解
信号与系统 3.2-4
例 如图所示的周期方波，试求其傅里叶级数。
end
信号与系统 3.2-1
3.2 周期信号的分解与合成
一、周期信号分解为三角级数
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
a0 An cos(n1t n ) n1
1：基波角频率 (2π)
a0：直流分量，
T
a0
1 T
T
f (t)dt
0
非正弦周期信号
an：余弦幅度，
由于 则
cos x e jx e jx 2
f
(t)
a0
A1 2
(e j1t
e j1t )
A2 2
(e j21t
e j21t )
a0
n
An 2
e ， jn1t
n 1, 2, 3
信号与系统 3.2-10
令 F0
a0， Fn
An 2
，则
f (t) Fne jn1t n
由 所以
An
an
jbn
2 T
T
2 -T
f (t)e jn1tdt
2
Fn
An 2
1 T
T
2 -T
f (t)e jn1tdt
2
信号与系统 3.2-11
例 对于周期方波，试求其指数表示式。
解
1
Fn T
T
2 -T
f
(t)e jn1tdt
2
2
T
2 Ae jn1tdt
2A
(n 1,3,5 )
T0
jn
图5
T
t
f
(t)
T
2
n1
1 sin( n
Hale Waihona Puke n12) cos( n1t )
f t
1
O
T
t
f
(t)
1 2
1
n1
1 n
sin(
n1t )
信号与系统 3.2-8
方波脉冲中取到5次谐波合成 取直流到11次谐波 合成
取到37次谐波 合成
二、周期信号的复指数表示
信号与系统 3.2-9
设 f (t) a0 A1 cos1t A2 cos 21t A3 cos 31t
F0 a0 0
所以
f (t)
2A e jn1t
(n 1,3,5 )
n jn
信号与系统 3.2-12
例 设有周期冲激信号T( t )，求其指数表示式。
解因 则
T (t) (t nT ) n
Fn
1 T
T
2 -T
2
(t)e jn1tdt
1 T
所以
T
(t)
1 T
e jn1t
n
图6
即T( t )是无穷多个复指数的累加和。
解 由于这里f( t )是奇函数，故有
a0
1 T
T 0
f (t)dt 0
an
2 T
T
2 T
f (t)cos n1tdt
0
2
bn
2 T
T
2 T
2
f
(t ) sin
n1tdt
4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图2
T
4A T
cos n1t n1
2 0
4A (n 1, 3, 5, ) nπ 0 (n 2, 4, 6, )