1-6 已知物体内某点的应力分量为x σ=y σ=20MPa ，xy τ=10MPa ，其余应力分量为零，试求主应力大小和方向。

解：z y x I σσσ++=1=40MPa2222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-300 MPa 22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 03004023=+-σσσ1σ=30MPa2σ=10 MPa 3σ=01-7已知变形时一点应力状态如图1-34所示，单位为MPa ，是回答下列问题？ （1）注明主应力； （2）分解该张量； （3）给出主变形图；（4）求出最大剪应力，给出其作用面。

解：（1）注明主应力如下图所示：（2）分解该张量；（3）给出主变形图（4）最大剪应力127523113±=+-±=-±=σστ MPa 其作用面为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100000001600060006700060005＋＝1-8已知物体内两点的应力张量为a 点1σ=40 MPa ，2σ=20 MPa ，3σ=0；b 点：y x σσ==30 MPa ，xy τ=10 MPa ，其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。

解：a 点MPa I 603211=++=σσσ)(1332212σσσσσσ++-=I =-800 MPa 3213σσσ=I =0z y x I σσσ++=1=60 MPa2222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-800 MPa 22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 其特征方程一样，则它们的应力状态相同。

1-10 某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断面积F=100mm 2，载荷为P=6000N ；（1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球分量； （2）画出应力状态分解图，写出应力张量； （3）画出变形状态图。

解：（1）660006010010MPa σ-==⋅则160a MP σ=，02=σ；30σ=； 应力分量为600020004000000＝0200＋0-20000-60002000-20⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭偏差应力分量为40000-20000-20⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 球应力分量为200002000020⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（2）应力状态分解图为=+（3）画出变形状态图1-15已知应力状态的6个分量y yz zx z 7,4，=0，=4a ，=-8a ，=-15a x xy MPa MPa MP MP MP στσττσ=-=-。

画出应力状态图，写出应力张量。

解：应力张量为7-4-8-404-8415⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭1-16已知某点应力状态为纯剪应力状态，且纯剪应力为-10MPa ，求： （1）特征方程； （2）主应力；（3）写出主状态下应力张量； （4）写出主状态下不变量；（5）求最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，并在主应力状态中绘出其作用面。

解：（1）z y x I σσσ++=1=0+0+0=02222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==100 22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 特征方程为31000σσ-=（2）其主应力为1=σ10MPa ；2=σ0 MPa ；3=σ-10 MPa（3）主状态下应力张量为100000000-10⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（4）主状态下不变量1123I σσσ=++=0)(1332212σσσσσσ++-=I =-（-100）=100 3213σσσ=I =0（5）最大剪应力为1313-10-（-10）===1022σστ±±±MPa ；八面体正应力812311=()(10010)033σσσσ++=+-= 八面体剪应力22222281223311110=（-）+（-）+（-）=（10-0）+（0+10）+（-10-10）=6333τσσσσσσMPa最大剪应力在主应力状态中绘出其作用面为：1-17已知应力状态如图1-35所示：（1）计算最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，绘出其作用面； （2）绘出主偏差应力状态图，并说明若变形，会发生何种形式的变形。

解：（1）最大剪应力1313--6-（-10）===222σστ±±±MPa八面体正应力812311=()(6810)8a 33MP σσσσ++=---=- 八面体剪应力2222228122331112=（-）+（-）+（-）=（-6+8）+（-8+10）+（-10+6）=6333τσσσσσσ （2）主偏差应力状态图如下所示：变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。

(1) 最大剪应力1313-0-（-10）===522σστ±±± 八面体正应力812311=()(0510)5a 33MP σσσσ++=--=- 八面体剪应力2222228122331115=（-）+（-）+（-）=（0+5）+（-5+10）+（-10+0）=6333τσσσσσσ变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。

(1) 最大剪应力1313-8-3=== 2.522σστ±±± 八面体正应力81231116=()(3+5+8)a 333MP σσσσ++== 八面体剪应力2222228122331111=（-）+（-）+（-）=（8-5）+（5-3）+（3-8）=38333τσσσσσσ变形时是体积变形，一个方向拉伸，另外两个个方向缩短。

1-14，轧板时某道轧制前后的轧件厚度分别为H=10mm ，h=8mm ，轧辊圆周速度v=2000mm/s ，轧辊半径R=200.试求该轧制时的平均应变速率。

解：轧制时的平均应变速率为：2v22000=22.22m /H+h 10+8s ε⨯⋅=⋅= 1-13轧制宽板时，厚向总的对数变形为InH/h=0.357，总的压下率为30%，共轧两道次，第一道次的对数变形为0.223；第二道次的压下率为0.2，试求第二道次的对数变形和第一道次的压下率。

解：第二道次的对数变形为第一道次的压下率为1-12已知压缩前后工件厚度分别为H=10mm 和h=8mm ，压下速度为900mm/s ，试求压缩时的平均应变速率。

解：压缩的平均应变速率2v 2900===100m/s h10+8yH ε⨯+ 1-11试证明对数变形为可比变形，工程相对变形为不可比变形。

证明：设某物体由l 0延长一倍后尺寸变为2l 0.其工程变形为如果该物体受压缩而缩短一半，尺寸变为0.5l 0，则工程变形为%100%1002=⨯-=LLL e %50%1005.0-=⨯-=LLL e物体拉长一倍与缩短一半时，物体的变形程度应该一样。

而用工程变形表示拉压程度则数值相差悬殊。

因此工程变形失去可以比较的性质。

用对数变形表示拉压两种不同性质的变形程度，不失去可以比较的性质。

拉长一倍的对数变形为缩短一半的对数变形为所以对数变形满足变形的可比性。

2-4．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为σx =75，σy =15，σz =0，τxy =15（应力单位为MPa ），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则： ()()()()[]2xz 2y z 2xy 2x z 2z y 2y x s621τττσσσσσσσ+++-+-+-=得该材料的屈服应力为：()()()()[]73.5MPa 001567500151575212222s =+++-+-+-=σ 2-5．试判断下列应力状态弹性还是塑性状态？-4000-500-5s s s σσσσ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭； 0.20000.8000.8s ss σσσσ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；2ln 5.0ln-==LLε2ln 2ln ==LLεc)0.5000001.5s ijs s σσσσ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭解：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-4σs -（-5σs ）=σs 。

应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则()()()s 23122322121σσσσσσσσ=-+-+-=。

应力处于塑性状态。

b )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-0.2σs +0.8σs =0.6σs，应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则s0.6σσ==应力处于弹性状态。

c )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-0.5σs -（-1.5σs ） =σs，应力处于塑性状态。

由密席斯屈服准则ss 1σσ===<应力处于弹性状态2-15 已知应力状态σ1=-50MPa ，σ2=-80 MPa ，σ3=-120 MPa ，σs MPa ，判断产生何变形，绘出变形状态图，并写出密赛斯屈服准则简化形式。

解：：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-50-（-120）MPa 。

应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则σ==MPa 。

应力处于弹性状态。

偏差应力分量为1000031000311000-3⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭变形状态图如下：密赛斯屈服准则简化形式如下：132d 13-50-120-80122==-50（-120）722σσσμσσ+--=--13s s s 22d227-===1373+3+()7σσσσσμ2-14绘出密赛斯屈服准则简化形式，指出参数的变化范围和k 与屈服应力的关系。

答：密赛斯屈服准则简化形式“13s s 2d2-==3+σσσβσμ参数d μ变化范围为d -11μ≤≤，213β≤≤k 与屈服应力关系为k=3sσ2-13 已知三向压应力状态下产生了轴对称的变形状态，且第一主应力为-50 MPa ，如果材料的屈服极限为200 MPa ，试求第二和第三主应力。

解：轴对称的变形状态，或2-12已知两向压应力的平面应力状态下产生了平面变形，如果材料的屈服极限为200 MPa ，试求第二和第三主应力。

解：平面应力，则 平面变形，则按屈雷斯卡塑性条件： 则 则3=-200a MP σ10σ=1332+=22σσσσ=13s -=200aMP σσσ=s=200aMP σ1=-50a MP σ13s -=200a MP σσσ=3=-250aMP σ23==-250aMP σσ12==-50aMP σσ2=-100a MP σ按密赛斯塑性条件：()()()22222123213s =2=2200σσσσσσσ-+-+-⋅32200=-a MP σ2200=-a MP σ2-11写出主应力表示的塑性条件表达式。