12
性质 7.5 (乘多项式) 若 f (x) xf (x) L1( ), 则
(xf (x)) i d fˆ( )
(1.12)
d
证：由于 f (x) xf (x) L1( ), 故 fˆ ( ) 是 的连续可微
函数, 且有
d fˆ() 1 f (x)(ix)eixdx i(xf (x))
df dx
i
fˆ
(1.9)
10
证:由假设 f (x) f (x) L1() C() 知
lim f (x) 0
x
(1.10)
事实上, 由 f (x)C() , 则
x
f (x) f (0) 0 f (t)dt
因为 f (x) L1() , 故有
lim
x
f
(x)
a
f (0)
0
f (t)dt
M sin N d M
1 M g(x)sin Nd f (x) MN sin d
M
MN
其中
g ( x )
1
0
f (x )d
是
x
的连续函数
(1.4) (1.5)
6
现在任给 0 , 首先取 M0 足够大，使得当 M M 0 时,
J1
4
J3
4
.
其次再固定
M ,取
N 充分大, 由黎曼-勒贝格
N 2
N
(1.2)
4
证：由于 f (x) L1(,因此 含) 参变量的积分
对一致收敛, 且为的连续函数. 从而有
f (x)eixdx
1 N fˆ ( )ei xd 1 f ()d N ei (x )d
2 N
2
N
1 f () sin N (x ) d
x
1 f ( x) sin N d
的变换称为Fourier逆变换, 记为 ( fˆ ( )),
因此(1.2)亦可写成 ( fˆ ) f 即一个属于 L1() C1()
的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换, 就回到这个函数本身．
注:在以后应用Fourier变换的反演公式求解问题时, 我们先不必 深究上述定理的条件是否满足, 而是直接应用它导出问题的形式解, 然后再通过直接验证, 以确定这个形式解就是“真解”.
3
1.1．Fourier变换
定义 7.1 若 f (x) L1( ), 则对任意的
1 f (x)ei xdx fˆ ( )
2
有意义, 我们称它为的Fourier变换,或记为
, 积分
(1.1)
定理 7.1 (Fourier积分定理)若 f (x) L1( ),则 C1( )
lim 1 N fˆ ( )ei xd f (x)
d
2
由此即知(1.12)成立.
13
推论 7.2 若 f (x)L xm f (x) L1( ), 则
(xm f (x))
im
dm
(Riemann-Lebesgue)引理, 有
1 M g(x) sin Nd
M
4
此外
sin x x
dx
,当
N
f (x) MN sin d f (x)
MN
4
将它们代入(1.3)立即可得当 N N0 时
1 N fˆ ( )eixd f (x)
2 N
定理证毕. 7
公式(1.2)称为反演公式. 左端的积分表示取Cauchy主值.由此所定义
§1 Fourier变化及其性质
【知识点提示】 Fourier变换的定义与性质及其逆变换。
【重、难点提示】 求解函数的Fourier变换及其逆变换，特别是逆变
换。 【教学目的】
熟练掌握Fourier变换的定义和性质，能熟练地求 解某些特殊函数的Fourier变换及其逆变换 。
1
Fourier变换在线性偏微分方程, 特别是常系数线性偏微 分方程的研究中十分重要. 它对求解各种数学物理方程具有 普遍意义. 这一章我们将系统地介绍Fourier变换的基本知识 及其运算性质. 最后利用Fourier变换及其逆变换求解某些典 型数学物理方程的定解问题.
8
1.2.基本性质 在运用Fourier变换求解定解问题之前, 我们先介绍Fourier变换
的一些基本性质. 性质 7.1(线性性质)若
f (x) g(x) L1( ) , 则对任意常数
12 ，有 (1 f 2g) 1 fˆ 2gˆ
(1.6)
性质 7.2(平移性质)若 f (x) L1( ) ，则对任意常数a, 有
2
在学习常微分方程的求解时, 我们介绍过 Laplace变换, 它将一个常系数的线性常微分方程的 求解转化为求解函数方程及对该函数方程的解实施 Laplace变换的逆运算. 那么是否有其它形式的积分 变换, 能将常系数的线性偏微分方程, 特别是三类典 型的数学物理方程的求解变得简单呢？这就是我们 下面将要介绍的Fourier变换。
又因f (x) L1() , 由反证法亦知 a 0 , 即(1.10)成立.由(1.10),
利用分部积分公式, 有
df dx
1
2
f (x)ei xdx
1 i f (x)eixdx i fˆ ( )
2
11
推论 7.1 若 f (x)L f (m) (x) L1( ) C( )，
( f (x a)) eia fˆ ( ) (1.7)
9
性质 7.3(对称性质)若 f (x) L1( ) , 则
( f (x)) fˆ ( )
(1.8)
以上三条性质的证明均可由Fourier变换及其逆变换的定义直接 推出. 请读者自己完成 .
性质 7.4(微商性质)若 f (x) f (x) L1() C() , 则
则
dm f
dxm
(i )m
fˆ ( ) m 1
(1.11)
注： 这个性质表明微商运算经Fourier变换后转化为乘积运算,因 此利用Fourier变换可把常系数的常微分方程简化为函数方程,也可 把偏微分方程简化为常微分方程.正由于这个原因,Fourier变换成为 解常系数线性偏微分方程的重要工具.
1
M
M
M
M
J1 J 1 23)的极限. 易知
J1
1
M f ( x) sin N d 1
M
f (x) dx
同理可证
J3
1
M
f (x) dx
另一方面, 我们有
J2
1
M M
f (x ) f (x) sin Nd f (x)