r x2 y2 , arctan y 复合而成.
x
u
r
x
θy
(1)
u u r x r x
u u x r
x r
u
y r2
u cos u sin
r
r
r cos
x
sin
x
r
5
u F (r, ), r x2 y2 , arctan y
x
u y
u r r y
u
y
u r
2u r 2
r x
2u
r
x
u r
(
sin
)
x
sin r
2u
2
x
2u
r
r x
u
sin
(
1 r2
)
r x
1 cos
r
x
设u f ( x, y)的所有二阶偏导数连续
r cos
x
sin
x
r
7
2u r 2
cos2
2sin cos
r
2u
r
sin
r
u r
sin2 2u 2sin cos u
r 2 2
r2
同理可得(自己练)
2u y 2
2u r 2
s
in2
2sin cos
r
2u
r
r sin
y
cos
y r
cos2 u cos2 2u 2sin cos u
r
r
r2
2
r2
8
两式相加,得:
2u 2u 2u 1 u 1 2u
x2 y2 2r r r r 2 2
由方程
F
x
z y
,
y
z x
0
确定,证明: x z y z z xy. x y
3
二、变量代换
例3 设u f ( x, y)的所有二阶偏导数连续,
把下列表达式转换为极坐标系中的形式:
(1)
u 2
u 2,
x y
(2)
2u x 2
2u y2
.
解 由 x r cos , y r sin
y r
u
x r2
u sin u cos
r
r
rx u
θy
u x
rucsoins
yr
u
sin
ry
cosrBiblioteka 得u x2
u y
2
u r
2
1 r2
u
2
6
(2)
2u x 2
2u y2
u u cos u sin
x r
r
(2)
2u x 2
(u cos
x r
u
sin
r
)
rx u
θy
cos
函数 u f ( x, y)换成极坐标 r及 的函数:
u f ( x, y) f (r cos ,r sin ) F (r, )
现将
u 2
x
2
u y
及
2u x 2
2u y 2
用r ,
以及函数 u F (r, )对r, 的偏导数来表达. 4
(1)
u x
2
u 2 y
u f ( x, y)看成由 u F (r, ) 及
第十二节 偏导数计算在偏微
分方程中的应用
验证给定函数满足某偏 微分方程 变量代换
小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
1
一、验证给定函数满足
某偏微分方程
例1 验证函数 u 1 x2 y2 z2
在定义域上满足拉普拉斯方程:
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0.
2
例2
设函数 z z(x, y)
1 u 2u
r 2 [r r (r r ) 2 ]
9
例4
以
u y ,v y x
作自变量,
w yz x 作函数,变换方程:
x
2z x2
2
z x
2 y
10
二、小结
会变换方程
11
作业
习题７.12(122页) 2.
12