（4） 2 y '' y ' xy 0 （5） y(n) 1 0 （6） ut a2uxx
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1
微分方程的基本概念
若F(x y y y(n) )是关于 及其各阶导数的线性函 数, 则称此方程是线性的，否则，称为非线性的.
线性微分方程可以分为常系数和变系数两大类，常系 数线性微分方程中未知函数及其导数的系数均为常数, 而变系数线性微分方程中未知函数及其导数的系数不 完全是常数.
用已知规律列方程建模 模型三：一级火箭的上限 火箭卫星系统分3部分：mp(卫星质量), mF(燃料质量) , ms(结构质量).
1. 目前技术条件：u=-3km/s及
ms 1 mF ms 9
2. 初速度为0。
于是
v(t) u ln mp mF ms u ln mF ms
解：设在第t 年, 污染物A的含量为m(t), 则有
dm(t )
V
m0
1 (m
m0 )

m0

m
dt 6 V 3 6 9 3
m(0) 5m0
解得
m(t)

14 3
1t
m0e 3

1 3
m0
令
m(t) m0， 得到
t 3ln 1 5.837。
7
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3. 从火箭末端喷出气体的速度(相对火箭本身)为常数。
分析与建模
从t时刻到t+Δt时刻，由动量守恒定律得
m(t)v(t) m(t t)v(t t) m[v(t) u]
化简，两边同除Δt，再取Δt→0时的极限得到：
m dv u dm
dt
dt 湖北工业大学 理学院 N.L.Zhou
例1 连续复利问题
本金A元存入银行，年利率为r，按连续复利计算，x年后 的本利和是多少？
解：设在t 时刻的本利和为A(t), 则有
dA(t) rA(t) dt A(0) A
解得 A(t) Aert , 故在第x年的本利和为 Aerx
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用微元法建模
2
微分方程模型
用已知规律列方程建模
在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过 实践检验的规律和定律，如牛顿运动定律、曲线的 切线的性质等，这些都涉及到某些函数的变化率.由 于本身就是微分方程形式，我们就可以根据相应的 规律直接列出方程，从而建立数学模型.
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用已知规律列方程建模
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫 微分方程的阶
一般n阶微分方程具有形式 F(x y y y(n) )0
或 y(n)f(x y y y(n1) )
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1
微分方程的基本概念
（1） y4 4y'''10y''12y'5y sin 2x （2） x2 y ''12xy ' 5y 0 （3） ( y ')2 xy 0
2. 地球是固定于空间的一个均匀球体，质量集中于 球心。
3. 其他星球对卫星的引力忽略不计。
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模型二：求火箭的升空速度
用已知规律列方程建模
1. 火箭在喷气推动下做直线运动，火箭所受的重力 和空气阻力忽略不计。
2. t时刻火箭的速度为v(t), 质量为m(t), 且均为时间t 连续可微的函数。
例2 某湖泊的水量为V, 每年排入湖泊内含污染物A的污水量 为V/6，不含污染物A的污水量也为V/6, 流出湖泊的水量为 V/3。已知2010年年底湖中A的含量为5m0, 超过国家规定指 标, 为了治理污染，从2011年初起，限定排入湖泊中含A的 污水浓度不超过m0/V, 问至少需经过多少年，湖泊中污染 物A的含量降至m0以内？（设湖水中A的浓度是均匀的）
t=0时刻,导弹位于原点,敌舰位于
Q0(a,0)点.
P0(0,0)
α
Q0(a,0)
x
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t时刻,导弹位于P(x(t),y(t))点, 敌舰位于Q点.
Q(a vt cos,vt sin)
模型建立
用已知规律列方程建模
y
P0(0,0)
Q
P(x,y)
α
Q0(a,0)
（6） ut a2uxx
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1
微分方程的基本概念
满足微分方程的函数叫做该微分方程的解 确切地说
设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上 F[x (x) (x) (n) (x)]0
那么函数y (x)就叫做微分方程F(x y y y(n) )0在
个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。
常见的定解条件是初始条件. 一般写成
y xx0 y0
y xx0 y0
求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做
微分方程的初值问题，记做
y f (x, y)

y
x x0

y0
微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积 分曲线
分析与建模
用已知规律列方程建模
令t=0时，v(0)=v0, m(0)=m0, 求得火箭升空速度：
v(t)

v0

u
ln
m0
mt

在初始条件一定的情况下u越大，m(t)越小，火箭速度越 大。
提高火箭速度的途径： 1. 从燃料上提高u值。 2. 从结构上设法减少m(t).
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用已知规律列方程建模 例4 （卫星发射为什么用三级火箭） 采用运载火箭把人造卫星发射到600km高空的轨道上运行， 为什么不用一级火箭而用三级火箭？
问题一： 为什么不能用一级火箭？ Answer：因为速度达不到。
模型一：求卫星进入600km高空时，火箭必需的最低速度。 V=7.6km/s
1. 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆 周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力做匀 速圆周运动。
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2
微分方程的建模方法
建立微分方程模型,一般有三种方法: • 一是用微元法建模. • 二是应用已知规律直接列方程建模. • 三是用模拟近似法建模.
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2
微分方程的建模方法
用微元法建模. 用微元法建立常微分方程模型，实际上是寻求微 元之间的关系式.
v(t) (1 a)u ln m0
mt
在燃料耗尽时有
v(t) (1 a)u ln m0 mp
此式表明，当m0足够大时，可使卫星达到我们希望的任 意速度。
当考虑空气阻力、重力等因素时，要使v=10.5km/s. 若取 u=3km/s, a=0.1,则可计算得m0/mp=50。
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区间I上的解
如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与 微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 以显函数形式给出的解，称为显式解. 以隐函数形式给出的解，就称为隐式解.
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1
微分方程的基本概念
为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这
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1
微分方程的基本概念
微分方程组—— n元一次微分方程组
dx1

dt

f1(t, x1, x2 ,......, xn )
dx2 dt

f2 (t, x1, x2 ,......, xn )
......

dxn dt

fn (t, x1, x2,......, xn )
m(t)v(t) m(t t)v(t t) amv(t) (1 a)m[v(t) u]
化简，两边同除Δt，再取Δt→0时的极限得到：
m dv (1 a)u dm
dt
dt
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用已知规律列方程建模 取v(0)=0, m(0)=m0, 求得火箭升空速度：
模型五：多级火箭的卫星系统
用已知规律列方程建模
mp相同的a, 即ami表示第i级结构质 量，(1-a)mi表示第i级燃料质量。
2. 设喷气相对火箭的速度u相同，燃烧级的初始质 量与其负载质量之比保持不变，该值记为k。
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取u=3km/s, a=0.1,要使v=10.5km/s.得
k 1 v2 6ln 0.1k 1 10.5 k 11.2
可计算得m0/mp≈149。
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用已知规律列方程建模 依此法得到各级火箭的m0/mp的值（在条件u=3km/s,
a=0.1,v=10.5km/s下）
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微分方程的建模方法
例5 (姜启源P147:Lanchester正规战与游击战模型)
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型, 战争分类为正规战争，游击战争，混合战争， 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱，兵力因战斗及 非战斗减员而减少，因增援而增加。战斗力与射击率 (即单位时间的射击次数), 命中率及战争类型有关。
n/级数 1 2 3
4
5 …… ∞
m0/mp \ 149 77 65 60
50