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第六章线性空间练习题参考答案

第六章 线性空间练习题参考答案
一、填空题
1.已知0000,,00V a b
c a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪
=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭
是33R ⨯的一个子空间,则维(V ) = 3 , V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
2.在P 4中,若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关,则k 的取值范围是3k ≠(以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零).
3.已知a 是数域P 中的一个固定的数,而1{(,,,),1,2,
,}n i W a x x x P i n =∈=
是P n+1的一个子空间,则a = 0 ,而维(W)=n 4.维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.
5.设123,,εεε是线性空间V 的一组基,112233x x x αεεε=++,则由基
123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T =001100010⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭,而α在基321,,εεε下的坐标是
321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T =011101110⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
. 6.数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上
(1)
2
n n +维线性空间,数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上
(1)
2
n n -维线性空间,数域P 上n 级上
三角矩阵全体构成数域P 上
(1)
2
n n +维线性空间,数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间,数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.
二、判断题
1.设n n V P ⨯=,则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.
错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零,因此W 中矩阵关
于矩阵的加法运算不封闭,不能成为子空间.)
2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间,且维(V )=2. 错.是子空间,但是是4维的,其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .
3.设,n n A B P ⨯∈,V 是0A X B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭的解空间,V 1是AX =0的解空间,V 2是(A
+B)X =0的解空间,则12V V V =.
正确. 12V V 中的向量既满足AX =0,又满足(A +B)X =0,因此也满足BX
=0,即满足0A X B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,即为V 中的向量.反之,V 中的向量既在1V 中,又在2
V 中,即为12V V 中的向量.因此12V V V =.
4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组
12,,,s ααα线性表出,则维(W)=s.
正确.根据定理1.
5.设W 是线性空间V 的子空间,如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有
.W αβ+∉
错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量,则0.W αβ=+∈
6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 正确. 基为(1,0,0),(0,1,0),维数为2.
7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.
8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为(1,1,1),维数为1.
9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为(1,1,0),(1,0,-1),维数为2. 三、计算题
1.求所有与A 可交换的矩阵组成的n
n P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基,
其中
100020003A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
解:设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换,即有AB BA =.即
1112
131112
132122232122
233132
33313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
11
121311121321222321
222331
32
3331
32
33232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时,0ij b =,因此
1122
330
0()00
00b C A b b ⎧⎫
⎛⎫⎪⎪
⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎩⎭
维数为3,基为112233,,E E E .
2.在线性空间P 4中,求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵,并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标,其中
1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解:令过渡矩阵为T ,则有
1
0111
43213140
123876100123
2210
001T --⎛⎫⎛⎫


- ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪- ⎪

-⎝⎭⎝⎭
因此
1
1
43210112379801231314633100128761232100
132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--
⎪ ⎪ ⎪
==
⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
. 令
123411432401232001230
1x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
1234143211411361101012340127421001220012240
0013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为(-101,21,-4,3) 四、证明题
为定义在实数域上的函数构成的线性空间,令
12{()(),()()},{()(),()()}
W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--
证明:W 1、W 2皆为V 的子空间,且12.V W W =⊕
证明:W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合,显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.
()()()()
(),()22
f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+
. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈,因此12.V W W =+又12{0}.W W =所
以12.V W W =⊕
2.设W 是P n 的一个非零子空间,若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说,
或者120n a a a ==
==,或者每一个i α都不等于零,证明:维(W)=1.
证明:由W 是P n 的一个非零子空间,可得W 中含有非零向量设
1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==
是W 中的任二个非零向量,由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量
11112112121211(,,
,)(,,
,)(0,,
,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W
αβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=,即有
12
12
n
n
a a a
b b b ===
.即W 中的任二个非零向量均成比例,因此维(W)=1.。

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