松江区 2017 学年度第一学期期末质量监控试卷 高三数学
一、填空题
1. 计算： lim
2n ____________ n 3n 1
2. 已知集合 A x | 0 x 3 ， B x | x 4 ，则 A B ____________
2


3. 已知 an 为等差数列， S n 为其前 n 项和，若 a1 a9 18 ， a4 7 ，则 S10 ____________ 4. 已知函数 f x log 2 x a 的反函数为 y f
a64 a64 a63 a63 a62 ... a2 a1 a1 a64 a63 a63 a62 ... a2 a1 a1
63 62 ... 1 2 2018 ；
故 a64 a63 a63 a62 ... a2 a1 a1 a64 a63 a63 a62 ... a2 a1 a1 又∵ a1 2 0 ，故该不等式右侧所有绝对值均为正， ∴ a64 a63 a62 ... a1 ，单调递增得证； ②必要性：若 an 是单调递增数列，则 a64 a63 a62 ... a1 ， ∴ a64 a64 a63 a63 a62 ... a2 a1 a1 a64 a63 a63 a62 ... a2 a1 a1
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12. 已知数列 an 的通项公式为 an 2q q q 0, n N
n

*
，若对任意 m, n N
*
பைடு நூலகம்
都有
am 1 , 6 ，则 an 6
实数 q 的取值范围为_____________
二、选择题
13. 若 2 i 是关于 x 的方程 x px q 0 的一个根（其中 i 为虚数单位， p, q R ） ，则 q 的值为（ ）
2
A. 5
B. 5
C. 3
D. 3
14. 已知 f x 是 R 上的偶函数，则“ x1 x2 0 ”是“ f x1 f x2 0 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 15. 若存在 x 0, 使 A. B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6 p t 1500 ，问当发车时间间隔为多少时，该线路每 60（元） t
x2 y 2 3 ， 其左焦点为 F 3, 0 ， 过 F 点的直线 l 交椭圆 2 1 a b 0 经过点 1, 2 a b 2 于 A、B 两点，交 y 轴的正半轴于点 M.
20. 已知椭圆 E :


（1）求椭圆 E 的方程； （2）过点 F 且与 l 垂直的直线交椭圆 C、D 两点，若四边形 ACBD 的面积为 （3）设 MA 1 AF ， MB 2 BF ，求证： 1 2 为定值.
4 ，求直线 l 的方程； 3
y M C B D A F O x
2 2
1
x ，且 f 1 2 1 ，则实数 a ____________

5. 已知角 的终边与单位圆 x y 1交于点 P , y0 ，则 cos 2 __________ 6. 右图是一个算法的程序框图，当输入值 x 为 8 时，则其输出的结果是 ____________ 7. 函数 y sin 2 x 的图像与 y cos x 的图像在区间 0, 2 上交点的个数是 ____________ 8. 若直线 ax y 3 0 与圆 x 1 y 2 4 相交于 A 、 B 两点，且
2 或 tan 2 ； 2
2 x 3 或 y 2 x 3 2
故直线方程为 y




方法二：设直线 AB 方程 x my 3 ，然后讨论 m 不存在的情况即可． 21 （1） a1 1 ， a2 0 ， a3 2 ， a4 1 ， a5 3 ； （2） ①充分性：若 a64 2018 ，则
2 2 t 10 400, 2 t 10 19、 （1） p t ， t 6 时， p t 368 400,10 t 20
（2） t 5 时，每分钟净收益最大为 60 元 20 （1）
x2 （2） 2 x y 6 0 ， x 2 y 3 0 y2 1 ； 4
2 3 cos t1 t2 1 3sin 2 ，∴ AB t t ∴ 1 2 1 t t 1 2 1 3sin 2
2
3 cos

2
4 1 3sin 2
2
1 3sin

4 1 3sin 2
, 1 0,1
B. D.
1,1
1,1
1,0 1,
三、解答题
17. 在 ABC 中， AB 6 ， AC 3 2 ， AB AC 18 . （1）求 BC 边的长； （2）求 ABC 的面积.
18. 已知函数 f x 1
2x m
2x x
1 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
C.
,1
B.
1,
, 1
D. 1,
16. 已知曲线 C1 : y x 2 与曲线 C2 : x 2 y 2 4 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是 （ A. C. ）
a , ( x 0, 常数 a R) . x
（1）讨论函数 f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当 a 0 时，研究函数 f x 在 x 0, 内的单调性.
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19. 松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线 路通车后，电车的发车时间间隔 t（单位：分钟）满足 2 t 20 ，经市场调研测算，电车载客量与发 车时间间隔 t 相关，当 10 t 20 时电车为满载状态，载客量为 400 人，当 2 t 10 时，载客量会减 少，减少的人数与 10 t 的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时的载客量为 272 人，记电车载 客量为 p t . （1）求 p t 的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟后，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为 Q 分钟的净收益最大？
2 2
1 2
AB 2 3 ，则 a ____________
9. 在 ABC 中， A 90 ， ABC 的面积为 1，若 BM MC ， BN 4 NC ，则 AM AN 的最小值为 ____________ 10. 已知函数 f x x 2 x a 1 有三个零点，则实数 a 的取值范围为____________ 11. 定义 F a, b
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21. 已知有穷数列 an 共有 m 项 m 2, m N

*
，且 a
n 1
an n 1 n m 1, n N * .
（1）若 m 5 ， a1 1 ， a5 3 ，试写出一个满足条件的数列 an ； （2）若 m 64 ， a1 2 ，求证：数列 an 为递增数列的充要条件是 a64 2018 ； （3）若 a1 0 ，则 am 所有可能的取值共有多少个？请说明理由.
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参考答案
1、
2 3
3 2、 2，
3、100 9、
4 5
4、3
5、
1 2
6、2
7、4 个
12、 ,0 4 1
8、0
10、 2 2,
11、 （2） （3） （4）

13-16、BABC 17、 （1） BC 3 10 ； （2）9； 18、 （1）当 a 0 时， f x 既是奇函数也是偶函数； 当 a 0 时， f x 既不是奇函数也不是偶函数. （2） f x 在 0, a 上单调递减，在 a, 上单调递增.
a, a b ，已知函数 f x 、 g x 的定义域都是 R，则下列四个命题中为真命题的是 b, a b
____________（写出所有真命题的序号） ①若 f x 、 g x 都是奇函数，则函数 F f x , g x 为奇函数 ②若 f x 、 g x 都是偶函数，则函数 F f x , g x 为偶函数 ③若 f x 、 g x 都是增函数，则函数 F f x , g x 为增函数 ④若 f x 、 g x 都是减函数，则函数 F f x , g x 为减函数
a64 a63 a63 a62 ... a2 a1 a1 63 62 ... 1 2 2018
必要性得证． （3） m2 m 1
1 2 1 2
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（3） 1 2 8 过程：方法一： （2）设直线 AB 的倾斜角为 ，则 AB 方程： 同时直线 CD 的倾斜角为 或 ；
2
x 3 t cos y t sin
，


2
将 AB 参数方程代入椭圆方程，整理得： 1 3sin 2 t 2 2 3 cos t 1 0 ，
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∴ CD
4 4 ， 1 3cos 2 2 1 3sin 2
1 2
∴ S ABCD AB CD ∴ tan
1 3sin 1 3cos