正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a ＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝ .若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ .若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A ＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a，A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin Ab sin A<a<ba≥b a>b解的个数①②③④解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sin A 2＝__________，cos A 2＝__________， tan A2＝________.tan A ＋tan B ＋tan C ＝__________.(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B ＝____________⇔2sin B 2＝cos A －C 2⇔2cos A ＋C 2＝cos A －C 2⇔tanA 2tan C 2＝13.【自查自纠】1．(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R(2)①2R sin B 2R sin C ②b 2Rc 2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2 (2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c22ab> <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cosB sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R12(a ＋b ＋c )r (2)π－(B ＋C )π2－B ＋C 2sin(B ＋C ) －cos(B ＋C ) －tan(B ＋C ) cosB ＋C 2sinB ＋C 21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B .(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cosπ6＝4，b ＝2.故填2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1.又∵B ∈(0，π)，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.根据正弦定理a sin A＝b sin B，可得sin A ＝a sin B b ＝12. ∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝π6.故填π6.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )． ∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )，即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)证明：对b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，即sin B⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C－sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴B －C ＝π2.(2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C＝π2，∴B ＝5π8，C ＝π8. ∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sinπ8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sinπ4＝12. 类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3C．1D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cosπ4. 又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1. 【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. 类型四 判断三角形的形状 在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc ＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定。