②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． (2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用 正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个 数．
【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则 x 的取 值范围是( )
又 cosB= ,故 ac=6, 由 b2=a2+c2-2accosB,可得 a2+c2=12, 所以(a-c)2=0,即 a=c,所以 a=c= . 15. 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 点 (a,b) 在 直 线 x(sinA-sinB)+ysinB=csinC 上.
＝(3 2)2＋32－2×3 2×3×2 3 2，
即 BD2＝3，BD＝ 3.
1．已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若 A＝π3 ，b＝2acosB，c＝1， 则△ABC 的面积等于( )
2．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 C＝2B，则cb为(
11.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cosB=
.
【解析】由正弦定理可得 = ,所以 sinB= ,
再由 b<a,可得 B 为锐角,
所以 cosB=
=.
答案:
12. 在 △ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 若
sin2A+sin2C-sin2B= sinAsinC,则 B=
.
【解析】在△ABC 中,因为 sin2A+sin2C-sin2B= sinAsinC,
所以利用正弦定理得:a2+c2-b2= ac,
所以 cosB=
= ,所以 B= .
答案: 13.△ABC 中,点 D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.
(1)求 . (2)若∠BAC=60°,求 B. 【解析】(1)如图,由正弦定理得:
C．锐角三角形
D．等边三角形
(2)在△ABC 中，cos2B2＝a2＋cc(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则△ABC 的形状为(
)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 (1)AⅡ)如图，在△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC， △ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍．
(2)由题意知 a＝ 2b，a2＝b2＋c2－2bccosA， 即 2b2＝b2＋c2－2bccosA，
又 c2＝b2＋ 2bc，
∴cosA＝ 22，A＝45°，sinB＝12，B＝30°，∴C＝105°.
【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．
∴当 B＋π6 ＝π2 ，
即 B＝π3 时，sinA＋sinB 的最大值为 3.故选 C。
答案：C
7.在△ABC 中,若 A= ,B= ,BC=3 ,则 AC=( )
A.
B.
【答案】C。
【解析】由正弦定理可得: = ,
即有 AC=
=
=2 .
8.在△ABC 中,若 a2+b2<c2,则△ABC 的形状是 ( )
A．x＞2
B．x＜2
C．2＜x＜2 2
D．2＜x＜2 3
(2)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝ 3，则 AB＝________.
答案 (1)C (2)1 解析 (1)若三角形有两解，则必有 a＞b，∴x＞2，
又由 sinA＝absinB＝x2× 22＜1，
可得 x＜2 2，
∴x 的取值范围是 2＜x＜2 2.
)
A．2sinC B．2cosB
C．2sinB D．2cosC
解析：由于 C＝2B，故 sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以ssiinnCB＝2cosB，由正弦定理可得cb ＝ssiinnCB＝2cosB，故选 B。
答案：B c－b sinA
3．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且c－a＝sinC＋sinB，则 B＝( )
(2)如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝2 3 2，AB＝3 2，AD ＝3，则 BD 的长为______．
答案 (1)D (2) 3
(2)sin∠BAC＝sin(π2 ＋∠BAD)＝cos∠BAD，
∴cos∠BAD＝2
3
2 .
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
C．120° D．150°
2sin2B－sin2A 5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a＝2b，则 sin2A 的 值为( ) A．－19 C．1 解析：由正弦定理可得2sins2Bi－n2Asin2A＝2ssiinnBA2－1＝2ba2－1，因为 3a＝2b，所以ba＝32， 所以2sins2Bi－n2Asin2A＝2×322－1＝72。 答案：D 6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且满足 csinA＝ 3acosC，则 sinA＋sinB 的最大值是( )
(2)∵A＝60°，AC＝2，BC＝ 3， 设 AB＝x，由余弦定理，得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA， 化简得 x2－2x＋1＝0， ∴x＝1，即 AB＝1.
高频考点二 和三角形面积有关的问题
例 2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 A＝π4 ， b2－a2＝12c2.
A．1
D．3
解析：由 csinA＝ 3acosC，所以 sinCsinA＝ 3sinAcosC，即 sinC＝ 3cosC，所以 tanC
＝
π 2π 3，C＝ 3 ，A＝ 3 －B，所以
sinA＋sinB＝sin23π－B＋sinB＝
3sinB＋π6 ，
∵0＜B＜2π3 ，∴π6 ＜B＋π6 ＜56π，
解析：由 sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR，代入整理得：cc－ －ba＝c＋a b⇒ c2－b2＝ac－a2，
所以
a2＋c2－b2＝ac，即
cosB＝12，所以
π B＝ 3 。
答案：C
4．在△ABC 中，若 lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lgb＋1 c，则 A＝(
)
A．90° B．60°
高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例 1、(1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sinA∶sinB＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc，则三内角 A，B，C 的度数依 次是________．
,则 B= ( )
10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若 C=120°,c= a,则 ( ) >b <b =b 与 b 的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】由余弦定理得 2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,
即 + -1=0, =
<1,故 b<a.
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
【答案】C
【解析】由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,
因为 a2+b2<c2,所以 2abcosC<0, 所以 C 为钝角,△ABC 是钝角三角形.
9.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且
=
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
=
,=
,
因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC,
所以 = = . (2)因为 C=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°, 所以 sinC=sin(∠BAC+B)
= cosB+ sinB,
由(1)知 2sinB=sinC,所以 tanB= ,即 B=30°. 14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB-ccosB.
(3)(2015·广东)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sinB＝12， C＝π6 ，则 b＝________.
答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1
解析 (1)∵bsinA＝ 6× 22＝ 3，∴bsinA<a<b.
∴满足条件的三角形有 2 个．
(1)求角 C 的值. (2)若 2cos2 -2sin2 = ,且 A<B,求 .
(2)因为 2cos2 -2sin2 =1+cosA-1+
cosB=cosA+cos
= cosA+ sinA=sin
(1)求ssiinnBC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
解 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinnBC＝AACB＝12. (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1. 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应 用 A＋B＋C＝π 这个结论． (2)求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理． 【变式探究】(1)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c，若 c－acosB ＝(2a－b)cosA，则△ABC 的形状为( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形