解：根据问题的假设可知各企业的利润函数为
n
其中i=1,…,ni。 pqi cqi a qi q j qi cqi
将利润函数对qi求导并令其为0得： ji
解得各企业对其他企业产量的反应函数为：
i
qi
a
n
qj
ji
c 2qi
0
n
qi a q j c / 2
ji
根据n个企业之间的对称性，可知 必然成立。代入上述反应函数可解得：
参与人2
Lq
R1-q
解：设参参与与人人1采1p用战略T T的概率2,为1 p；参与0,人2 2采用战 略L的概率为q。分1-别p 计B算两个参1,与2 人采用3各,0自两个纯 战略的期望效用，并令它们相等得：
2q=q+3(1-q)
p+2(1-p)=2p 求解得：p=2/3，q=3/4
2 完全信息动态博弈
解：设金钱总数为M。 函数对ui为赌徒i，战略空间Si=[0,M]，si∈Si，支付
所 有有无满穷足多∑个is。i≤uMi 的 选0s择i 都iif是f 纳i 什ssii均衡MM。纳什均衡
i
5.(库诺特博弈)假定有n个库诺特寡头企业，每个企业具有相同 的不变单位成本c，市场逆需求函数是p = a - Q，其中p是市场 价选格择，产量Q =qi最∑jq大j是化总利供润给π量i=，qi(aa是-Q大-c)于，零给的定常其数他。企企业业的i产的量战q略-i，是 求库诺特-纳什均衡。
有四个纯战略：杆子、老虎、鸡、虫子。输赢规则是：杆子降
老虎、老虎降鸡、鸡降虫子、虫子降杆子。两个人同时出令、 如果一个打败另一个，赢着的效用为1，输者的效用为-1；否则， 效用都为0。写出这个博弈的支付矩阵。这个博弈有纯战略纳 什均衡吗？计算出混合战略纳什均衡。
解：
补充1：求出下图中的博弈的混合战略纳什均衡
参与人3选择C
参与人2
A
Hale Waihona Puke BCA参与人 1
B
C
2,0,1 2,0,1 0,1,2
2,0,1 1,2,0 0,1,2
0,1,2 0,1,2 0,1,2
纳什均衡为(A,A,A)、 (A,B,A)、 (B,B,B)、 (A,C,C)、 (C,C,C)
10.模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人
9.(投票博弈)假定有三个参与人(1,2,3)要在三个项目(A,B,C)中投 票选择一个。三个参与人同时投票，不允许弃权，因此，战略 空他间项为目得Si=到{A多,B数,C票}。，得项票目最A被多选的中项。目参被与选人中的，支如付果函没数有如任下何：其
u1(A)=u2(B)=u3(C)=2 u1(B)=u2(C)=u3(A)=1 找出这个博u弈1(C的)=所u2有(A的)=纳u3什(B均)=衡0 。
在一起，使得他们无法分辨哪些钱属于自己的，他们为此而发
生争执，最后请来一位律师。律师宣布了这样的规则：每一个
人将自己的钱数写在纸条上，然后将纸条交给律师；如果所有 人要求的加总不大于钱的总数，每个人得到自己要求的部分(如 果有剩余的话，剩余的归律师)；如果所有人要求的加总大于钱
的总数，所有的钱都归律师所有。写出这个博弈中每个参与人 的战略空间和支付函数，并给出纳什均衡。
解：两企业的利润函数分别为
1 p1, p2 a p1 p2 p1 求各自价格的一2阶p偏1,导p2数， 令a其等p2于0，p1得p：2
1
p1
a
p2 2 p1
0
2
p2
a
p1 2 p2
0
分别得到两个企业的反应函数：
求解方程得：
p1
a
p2 2
p2
a
p1 2
p1 p2 a
解：假设单位成本为c。 企业i的需求函数为
qi
a pi
a
2
pi
if pi p j if pi p j
0
if pi p j
从上述需求函数可以看出，企业i绝不会将其价格
定的高于企业j。由于对称性，可知博弈的均衡结果必
然利价是格润两略πi=企微qi(业降pi-的低c)一价=(p点格i-c相点)(同εa(-εp，→i)/即02)>，p01。=则p因2可。此获如，得果只整pi要>个c企，市业企场i业的将i需其的
求，利润为(pi-ε-c)(a-pi)>(pi-c)(a-pi)/2。另一企业也会 采取相同的战略，直到其利润为0。此时均衡的结果为
p1=p2=c。
7.(产品有差异时的价格竞争)现在假定两个企业 的成本并不完全相同，企业1的需求函数为 q1(p1,p2)=a-p1+p2，业2的需求函数是q2(p1,p2)=ap2+p1。求两个企业同时选择价格时的纳什均衡。
解：所有战略组合的支付函数如下
参与人3选择A
A
参与人 1
B
C
A 2,0,1 2,0,1 2,0,1
参与人2 B
2,0,1 1,2,0 2,0,1
C 2,0,1 2,0,1 0,1,2
参与人3选择B
参与人2
A
B
C
A
参与人 1
B
C
2,0,1 1,2,0 2,0,1
1,2,0 1,2,0 1,2,0
2,0,1 1,2,0 0,1,2
q1* q2* qn*
因此该博弈的纳什均衡是所有n个企业都生产产
量。
q1* q2*
qn*
ac n 1
ac n 1
6.(伯川德博弈)假定两个寡头企业之间进行价格竞争(而不是产 量竞争)，两个企业生产的产品是完全替代的，并且单位生产成 本相同且不变，企业1的价格为p1，企业2的价格为p2。如果 p如1<果p2p，1>企p2业，1企的业市1场的需需求求函函数数是为q01，=a企-p业1，2的企需业求2的函需数求为函q2数=a为-p02；； 如么果是纳p1=什p2均=p衡，价市格场？需求在两个企业之间平分，即qi=(a-p)/2，什
1.参与人1(丈夫)和参与人2(妻子)必须独立地决定出门时是否带 伞。他们知道下雨和不下雨的可能性相同(即50:50)。支付函数 如下：如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为-2.5，不带 伞者(搭便车者)的效用为-3；不下雨时带伞者的效用为-1，不带 伞者的效用为0；如果两人都带伞，下雨时每人的效用为-2，不 下雨时每人的效用为1；如果两人都不带伞，下雨时每人的效 用为-5，不下雨时每人的效用为1。给出以下两种情况下的扩展 式表述(博弈树)和战略式表述：(1)两人出门前都不知道是否会 下雨，并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不知道 对方的决策)；(2)两人出门前都不知道是否会下雨，但丈夫先 决策，妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞；(3)
博弈论与信息经济学
Game Theory and Economics of Information
练习
Exercise
1 完全信息静态博弈
2.在下表所示的战略式表述中，找出重复剔除的占优均衡。
L
M
R
U
4,3
5,1
6,2
M
2,1
8,4
3,6
D
3,0
9,6
2,8
4.一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在身边的地上 (每个人都知道自己有多少钱)，突然一阵风吹来将所有的钱混