1．（本小题满分10分）已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作 DG //BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE=DC ，连接AE 、BD ．（1）求证：△AGE ≌△DAB ；（2）过点E 作EF //DB ，交BC 于点F ，连AF ，求∠AEF 的度数．2、（本小题满分12分）如图,菱形OABC 放在平面直角坐标系内,点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，其坐标为(8,4)．抛物线2bx c y ax ++=过点O 、A 、C ．（1）求抛物线的解析式？（2）将菱形向左平移，设抛物线与线段AB 的交点为D,连接CD① 当点C 又在抛物线上时求点Ｄ的坐标？② 当△BCD 是直角三角形时,求菱形的平移的距离？3、(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC ，CB//OA ，且点A 在x 轴正半轴上.已知C(2，4)，BC= 4.(1)求过O 、C 、B 三点的抛物线解析式，并写出顶点坐标和对称轴；(2)经过O 、C 、B 三点的抛物线上是否存在P 点(与原点O 不重合)，使得P 点到两坐标轴的距离相等.如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由.4、 (本题12分)如图，AD//BC ，点E 、F 在BC 上，∠1=∠2，AF ⊥DE ，垂足为点O. (1)求证:四边形AEFD 是菱形；(2)若BE=EF=FC ，求∠BAD+∠ADC 的度数；(3)若BE=EF=FC ，设AB = m ，CD = n ，求四边形ABCD 的面积.21OFEDCBAD A C GEF （第22题图）5、 (本题14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线6422++-=x x y 与 x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交于C 点，顶点为D.过点 C 、D 的直线与x 轴交于E 点，以OE 为直径画⊙O 1，交直线CD 于P 、E 两点.(1)求E 点的坐标；(2)联结PO 1、PA.求证:BCD ∆～A PO 1∆；(3) ①以点O 2 (0，m)为圆心画⊙O 2，使得⊙O 2与⊙O 1相切，当⊙O 2经过点C 时，求实数m 的值；②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O 3，以O 3为圆心画⊙O 3，使得⊙O 3与⊙O 1、⊙O 2同时相切.直接写出满足条件的点O 3的坐标(不需写出计算过程). 6．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ． （1）求证：四边形BFDE 是菱形；（2）若E 为线段AD 的中点，求证：AB ⊥BD .7．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过点（0，2）和点（3，5）． （1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标；（2）点P 为抛物线上一动点，如果直径为4的 ⊙P 与y 轴相切，求点P 的坐标.8．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°．（1）求DE ︰DF 的值；（2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；bx c ++第24题图A D EB FC 第23题图O若不能，请说明理由.9．（本题满分12分，每小题各4分）如图10，已知抛物线c bx x y ++-=2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，且OB OA =. (1) 求c b +的值；(2) 若点C 在抛物线上，且四边形OABC 是 平行四边形，试求抛物线的解析式；(3) 在(2)的条件下，作∠OBC 的角平分线，与抛物线交于点P ，求点P 的坐标.10．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知⊙O 的半径长为1，PQ 是⊙O 的直径，点M 是PQ 延长线上一点，以点M 为圆心作圆，与⊙O 交于A 、B 两点，联结P A 并延长，交⊙M 于另外一点C .(1) 若AB 恰好是⊙O 的直径，设OM=x ，AC=y ，试在图12中画出符合要求的大致图形，并求y 关于x 的函数解析式；(2) 联结OA 、MA 、MC ，若OA ⊥MA ，且△OMA 与△PMC 相似，求OM 的长度和⊙M 的半径长； (3) 是否存在⊙M ，使得AB 、AC 恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM 的长度和⊙M 的半径长；第25题图 BC D E F A备用图1B C D 备用图2BCD A A若不存在，试说明理由.图12答案： 1．（1）∵△ABC 是等边三角形，DG //BC ，∴△AGD 是等边三角形．AG ＝GD ＝AD ，∠AGD ＝60°．∵DE ＝DC ，∴GE ＝GD ＋DE ＝AD ＋DC ＝AC ＝AB ．∵∠AGD ＝∠BAD ，AG ＝AD ，∴△AGE ≌△DAB ． …………………………（5分） （2）由（1）知AE ＝BD ，∠ABD ＝∠AEG …………………………………………（6分） ∵EF ∥DB ，DG ∥BC ，∴四边形BFED 是平行四边形 ………………………… （7分） ∴∠DBC ＝∠DEF ，∴∠AEF=∠AEG ＋∠DEF =∠ABD +∠DBC=∠ABC ＝60°（8分）2、（本题12分）（1）A （0，3）,C(3,0) ∵3m=3 ∴m=1∴抛物线的解析式为322++-=x x y ………2分（2）∵m=1 ∴322++-=x x y ∴AO=3 点32,(2++-x x x D )，连结OD当y=0时，即0322=++-x x ，解得x 1=-1 x 2=3 ∴OC=3∴S= S △AOD + S △DOC =292923)32(32132122++-=++-⨯⨯+⨯x x x x x ∴S 与x 的函数关系式S=2929232++-x x （0＜x ＜3) …………………………4分当232=-=a b x 符合（0＜x ＜3) S 最大值=863)23(4)29(29)23(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac ……6分（3）…………………………………………7分假设存在点P ，使AC 把△PCD 分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论： （ⅰ）当△CDE 与△CEP 的面积之比为2：1时，DE=2EP ∴DP=3EP即)3(3322+-=++-x x x 整理得：0652=+-x x解得；21=x 32=x (不合题意，舍去), 此时点P 的坐标是（2，0）… 9分 （ⅱ）当△CEP 与△CDE 的面积之比为2：1时， EP DE 21=， ∴EP DP 23= 即)3(23322+-=++-x x x 整理得：03722=+-x x BED PO xy3453OA OC AOC Rt ECP EP PC x==∴∴∠=︒∴==-为等腰54321OFEDCB A 解得：213=x 34=x （不合题意，舍去），此时点P 的坐标是（21，0） …………………………………………11分综上所述，使直线AC 把△PCD 分成面积之比为2：1两部分的点P 存在，点P 的坐标是（2，0）或（21，0）……………………… 12分3、（12分）解：(1) ( 6分）∵C(2,4), BC=4 且 BC//OA ∴ B(6,4) 1分设抛物线为c bx ax y ++=2()0≠a将O(0,0),C(2,4),B(6,4)代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=)3(4636)2(424)1(0b a c b a c 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=03831c b a 3分∴x x y 38312+-= 1分∴顶点)316,4( 对称轴：直线4=x 2分(2) (6分)据题意，设),(a a P 或),(a a P -()0≠a 1分将),(a a P 代入抛物线得a a a =+-38312 解得0,521==a a (舍) 2分将),(a a P -代入抛物线得a a a -=+-38312 解得0,1121==a a (舍) 2分∴符合条件的点)5,5(p 和)11,11(-p 1分4、（12分）（1）( 4分）证明:（方法一）∵AF ⊥DE∴∠1+∠3=90° 即：∠3=90°-∠1∴∠2+∠4=90° 即：∠4=90°-∠2又∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴AE = EF∵AD//BC ∴∠2=∠5 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5 ∴AE = AD ∴EF = AD 2分 ∵AD//EF ∴四边形AEFD 是平行四边形 1分 又∵AE = AD∴四边形AEFD 是菱形 1分（方法二）∵AD//BC ∴∠2=∠5 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠5∵AF ⊥DE ∴∠AOE=∠AOD =90°在△AEO 和△ADO 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AO AO AOD AOE 51 ∴△AEO ≅△ADO ∴EO=OD在△AEO 和△FEO 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FOE AOE EO EO 21∴△AEO ≅△FEO ∴AO=FO 2分 ∴AF 与ED 互相平分 1分 ∴四边形AEFD 是平行四边形 又∵AF ⊥DE ∴四边形AEFD 是菱形 1分 (2)( 5分）∵菱形AEFD ∴AD=EF ∵BE=EF ∴AD=BE又∵AD//BC ∴四边形ABED 是平行四边形 1分 ∴AB//DE ∴∠BAF=∠EOF同理可知 四边形AFCD 是平行四边形 ∴AF//DC ∴∠EDC=∠EOF又∵AF ⊥ED ∴∠EOF=∠AOD=90° ∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90° 2分 ∴∠5 +∠6=90° 1分∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6 +∠5+∠EDC =270° 1分（3）( 3分）由（2）知∠BAF =90°平行四边形AFCD ∴AF=CD=n又∵AB=m mn 21AF AB 21S ABF =⋅=∆ 1分 由（2）知 平行四边形ABED ∴DE=AB=m 由（1）知OD=m DE 21= mn 21OD AF S AFCD =⋅=四边形 1分 mn S AFCD ABCD =+=∆四边形四边形S S ABF 1分5、（14分）解:(1) ( 3分)()81264222+--=++-=x x x y ∴)8,1(),6,0(D C 1分设直线CD:()0≠+=k b kx y 将C 、D 代入得⎩⎨⎧+==686k b 解得⎩⎨⎧==62b k∴CD 直线解析式:62+=x y 1分 )0,3(-E 1分 (2) ( 4分)令y=0 得06422=++-x x 解得3,121=-=x x ∴)0,3()0,1(B A - 1分又∵)0,0(O 、)0,3(-E ∴以OE 为直径的圆心)0,(231-O 、半径231=r .设)62,(+t t P 由231=PO 得232223)62()(=+++t t 解得3,25121-=-=t t （舍） ∴),(56512-P 2分∴585=PA 211=AO54321OFEDCB A6又 5=DC 53=CB 172=DB∴5211===PADBPO CB AO DC 1分 ∴BCD ∆～A PO 1∆ (3) ( 7分）① )0,(231-O 231=r),0(2m O 据题意，显然点2O 在点C 下方 m C O r -==622当⊙O 2与⊙O 1外切时 2121r r O O +=代入得()()m m -+=+6232223 解得 2,51821==m m （舍）2分 当⊙O 2与⊙O 1内切时 2121r r O O -=代入得()()m m --=+6232223 解得 518,221==m m （舍） 2分 ∴2,51821==m m ② ⎪⎭⎫ ⎝⎛518,03O ⎪⎭⎫ ⎝⎛-710,03O ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,233O ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,14453O ⎪⎭⎫ ⎝⎛1514,03O ()2,03O ⎪⎭⎫⎝⎛0,2213O 3分6、．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴ED ∥BF ，得∠EDB =∠FBD ……………………………………………………（2分）∵EF 垂直平分BD∴BO=DO ，∠DOE =∠BOF =90°∴△DOE ≌△BOF ……………………………………………………………………（2分） ∴ EO=FO∴四边形BFDE 是平行四边形 ……………………………………………………（1分） 又∵EF ⊥BD∴四边形BFDE 是菱形 ……………………………………………………………（1分） （2）∵四边形BFDE 是菱形∴ED=BF ∵AE=ED∴AE=BF ………………………………………………………………………………（2分） 又∵AE ∥BF∴四边形ABFE 是平行四边形………………………………………………………（1分） ∴AB ∥EF ……………………………………………………………………………（1分） ∴∠ABD =∠DOE ……………………………………………………………………（1分） ∵∠DOE =90° ∴∠ABD =90°即AB ⊥BD ……………………………………………………………………………（1分）7．解：（1）把（0，2）、（3，5）分别代入2y x bx c =++得 2593cb c =⎧⎨=++⎩解得22b c =-⎧⎨=⎩……………………………………………（3分） ∴抛物线的解析式为222y x x =-+ ………………………………………………（1分） ∴抛物线的顶点为(1,1)………………………………………………………………（2分） （2）设点P 到y 轴的距离为d ，⊙P 的半径为r∵⊙P 与y 轴相切 ∴1422d r ==⨯= ∴点P 的横坐标为2±…………………………………………………………………（2分）当2x =时， 2y = ∴点P 的坐标为(2,2) …………………………………（2分）当2x =-时，10y = ∴点P 的坐标为(2,10)- ………………………………（2分）∴点P 的坐标为(2,2)或(2,10)-.8.解：（1）∵∠BAC = 90° ∴∠B +∠C ＝90°，∵AD 是BC 边上的高 ∴∠DAC +∠C =90°∴∠B =∠DAC ………………………………………………………………………（1分） 又∵∠EDF = 90°∴∠BDE +∠EDA =∠ADF +∠EDA = 90° ∴∠BDE =∠ADF∴△BED ∽△AFD ……………………………………………………………………（1分）∴DE BDDF AD =…………………………………………………………………………（1分） ∵3cot 4BD AB B AD AC === ∴DE ︰DF =34…………………………………………………………………………（1分）（2）由△BED ∽△AFD 得34BE BD AF AD ==∴4433AF BE x == …………………………………………………………………（1分）∵BE x = ∴3AE x =-∵∠BAC = 90°∴2222425(3)()6939EF x x x x =-+=-+………………………………………（1分） ∵DE ︰D F =3︰4，∠EDF =90°∴ED =35EF ，FD =45EF …………………………………………………………………（1分） ∴216225y ED FD EF =⋅=∴22365432525y x x =-+ (03)x ≤≤ ………………………………………………（2分） （3）能. BE 的长为543255或.……………………………………………………………（5分）（说明：BE 的长一个正确得3分，全对得5分）9、解：（1）由题意得：点B 的坐标为),0(c ，其中0>c ，c OB = （1分） ∵OB OA =，点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的坐标为)0,(c - （1分）∵点A 在抛物线c bx x y ++-=2上，∴c bc c +--=20 （1分）∴ 1=+c b （因为0>c ） （1分） （2）∵四边形OABC 是平行四边形∴c AO BC ==，又BC ∥x 轴，点B 的坐标为),0(c∴点C 的坐标为),(c c （1分） 又点C 在抛物线上，∴c bc c c ++-=2∴0=-c b 或0=c （舍去） （1分） 又 由（1）知：1=+c b ∴21=b ，21=c . 抛物线的解析式为21212++-=x x y . （2分） （3）过点P 作⊥PM y 轴，⊥PN BC ，垂足分别为M 、N ∵ BP 平分CBO ∠ ∴ PN PM = （1分） 设点P 的坐标为)2121(2++-x x x ， ∴x x x =++--)2121(212 （1分） 解得：23=x 或0=x （舍去） （1分） 所以，点P 的坐标为)21,23(- （1分）10、（1）图画正确 （1分）过点M 作AC MN ⊥，垂足为N∴y NC AN 21== 由题意得：AB PM ⊥， 又AB 是圆O 的直径∴1==OP OA ∴︒=∠45APO ， 2=PA∴y PN 212+=（1分） 在Rt △PNM 中，PMPNNPM =∠cos 又x PM +=1，︒=∠45NPM∴ 22121245cos =++=︒x y ∴ y 关于x 的函数解析式为22-=x y （1>x ） （2分） （2）设圆M 的半径为r因为 OA ⊥MA ，∴∠OAM=90°，12+=r OM又△OMA 与△PMC 相似，所以△PMC 是直角三角形。