学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216a B ．66a C.156a D ．153a 【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→.∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为103，则x ＝( )【导学号：32550053】A ．－1B ．－11C ．－1或－11D ．－21【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |＝103，即|－2x ＋2－4－4|4＋4＋1＝103，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C3．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B ．23 C.33D ．34【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→＝(1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎨⎧n ·AC →＝0n ·DA 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)DA →＝(1,0,0)，DA 1→与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33.【答案】 C4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD等于( )A ．5B ．41C ．4D ．2 5【解析】 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ，∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－45，∴BD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，∴|BD →|＝ 16＋8125＋14425＝5.【答案】 A5．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B ．38 C.43D ．34【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．∴D 1B 1→＝(2,2,0)， D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥D 1B 1→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎨⎧n ·D 1B 1→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝43.【答案】 C 二、填空题6．如图2­6­5所示，在直二面角D ­AB ­E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．图2­6­5【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233. 【答案】2337．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【导学号：32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·2，－2，1＝0，x ，y ，z ·4，0，6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z y ＝－z 令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×－7＋2×－7－2×732＋22＋－22＝4917＝491717. 【答案】4917178．如图2­6­7所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．图2­6­7【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·D 1B 1→＝0，且n ·B 1N →＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1.∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|A 1B 1→·n 0| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0，1，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－23，13＝23.【答案】 23三、解答题9．如图2­6­8，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝ 2.图2­6­8(1)求证：直线CD 1∥平面A 1BC 1； (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离． 【证明】 (1)建系如图，则C (0,4,0)，D 1(0,0,2)，B (3,4,0)，A 1(3,0,2)，C 1(0,4,2)，所以CD 1→＝(0，－4,2)，BA 1→＝(0，－4,2)，BC 1→＝(－3,0,2)，BC →＝(－3,0,0)．∵CD 1→＝BA 1→，∴CD 1∥BA 1，又因为CD 1平面A 1BC 1，BA 1平面A 1BC 1，所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BA 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋2z ＝0，－3x ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12z ，x ＝23z .取z ＝6，则x ＝4，y ＝3，∴n ＝(4,3,6)，则BC →·n ＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n |＝61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n |n |＝|－12|61＝126161.10．如图2­6­9，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，求点A 到平面SND 的距离．图2­6­9【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)， D (－1,4,0)，∴NS →＝(0，－2,2)， SD →＝(－1,4，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)．∴n ·NS →＝0，n ·SD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，－x ＋4y －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴n ＝(2,1,1)．∵AS →＝(0,0,2)．∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n|＝26＝63.[能力提升]1．若正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2D ． 3【解析】 如图所示，直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ，而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1，在Rt △ABB 1中，B 1B ＝AB ·tan 60°＝ 3.所以AA 1＝BB 1＝ 3.【答案】 D2．如图2­6­10，P ­ABCD 是正四棱锥，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，PA ＝6，则B 1到平面PAD 的距离为( )图2­6­10A ．6B ．355C.655D ．322【解析】 以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面PAD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，∵AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,1,2)， ∴AD →·n ＝0，且AP →·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵B 1A →＝(－2,0,2)，∴B 1到平面PAD 的距离d ＝|B 1A →·n ||n |＝655.【答案】 C3.如图2­6­11所示，已知边长为42的正三角形ABC 中，E ，F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为________．【导学号：32550055】图2­6­11【解析】 设AP →，AE →，EC →的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，选取{e 1，e 2，e 3}为空间向量的一个基底，易知e 1·e 2＝e 2·e 3＝e 3·e 1＝0，AP →＝2e 1，AE →＝26e 2，EC →＝22e 3，PF →＝PA →＋AF →＝PA →＋12AC →＝PA →＋12(AE →＋EC →)＝－2e 1＋6e 2＋2e 3.设n ＝x e 1＋y e 2＋e 3是平面α的一个法向量，则n ⊥AE →，n ⊥PF →，∴⎩⎨⎧n ·AE →＝0n ·PF →＝0⇒⎩⎨⎧x e 1＋y e 2＋e 3·26e 2＝0x e 1＋y e 2＋e 3·－2e 1＋6e 2＋2e 3＝0⇒⎩⎨⎧26y |e 2|2＝0－2x |e 1|2＋6y |e 2|2＋2|e 3|2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝22.∴n ＝22e 1＋e 3. ∴直线AE 与平面α间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫22e 1＋e 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e 12＋|e 3|2＝233. 【答案】2334．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离；(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1， 设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·EF →＝0且n ·PE →＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3， 所以n ＝(2,2,3)，所以点D 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋14＋4＋9＝31717， 因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。