河北省石家庄二中2020届高三年级上学期联考三数 学（理科）本试卷共4页，23题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）.(,1]A -∞- .(,1)B -∞- .[1,)C +∞ .(1,)D +∞ 2．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A.,21000n n N ∀∈<B.,21000n n N ∀∉<C.,21000n n N ∀∈≤D.,21000n n N ∀∉≤ 3．己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．12 B．2C ．1 D4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<6. 若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A.3C.3-D.7．已知函数()214f x x cosx =+的图像在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图像是（ ） A. B. C. D.8．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是（ ） A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,69．如图所示，在直角梯形ABCD 中，8AB =，4CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A.32B.48C.80D.6410．如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π11．如图所示，已知函数()()(0),2f x sin x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点A 、B ，点1(,0)2C -，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，点O 是△ABD 的重心，则△ACD 的外接圆的半径为（ ）A ．2B ．57 C ．57D ．8 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称,其导函数为()f x ',当0x …时,不等式()()1xf x f x '>-. 若x R ∀∈,不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立,则正整数a 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．双曲线2214y x -=的右焦点为F ，则F 到其中一条渐近线的距离为__________．14．()4324sin 16x x dx -+-⎰的值为__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和221,4(1),5n n n S n m n n ⎧-≤=⎨-+-≥⎩.若5a 是{}n a 中的最大值，则实数m 的取值范围是__________．16．设12,F F 为椭圆C :2214x y +=的两个焦点，M 为C 上的点，12MF F ∆的内心I 的纵坐标为23-，则12F MF ∠的余弦值为__________．三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分）,,a b c 分别为ABC △的内角,,A B C 的对边，已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC △的面积取得最大值时，求ABC △的周长.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 满足：212321111...333n n a a a a n -++++=，n ∈+N .（1）求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 为BC 的中点，现将△BAE 与△DCE 折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直．（1）求证：BC ∥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣BE ﹣C 的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F ，直线:2360l x y --=与y 轴交于点P .且与椭圆交于A ，B 两点.A 为椭圆的右顶点，B 在x 轴上的射影恰为1F 。

（1）求椭圆E 的方程；（2）M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，直线MP 与椭圆交于另一点N ，若:P N PMA B S S λ=V V ，求λ的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()33e f x x ax =-+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数。

（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}max ,m n 表示,m n 中较大者，记函数{}()max (),(),(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在()0,+∞上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60o .（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB +的值. 23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()214f x x x =++- （1）解不等式()6f x ≤；2+-<-f x x a a()48（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题 1-5 ACBAC 6-10 BACDCA 11-12 BB二、填空题 13. 2 14. 8π. 15. 53,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16. 0 三、解答题17.解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=， 即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =. …………………………..5分（2）因为48a b +=≥=，所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立.因为ABC △的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯=. 所以当44a b ==时，ABC △的面积取得最大值，…………………………..8分此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =所以ABC △的周长为5+ .…………………………..12分18. 解：（1）数列{}n a 满足：212321111 (333)n n a a a a n -++++=，n ∈+N ， 当1n =时，11a =；当2n ≥时，()2123122111 (1333)n n a a a a n --++++=-两式相减得：()22111213n n a n n n -=--=-，解得()1213n n a n -=-⨯，()2n ≥ ……… …..5分当1n =时上式也成立，所以 ()1213n n a n -=-⨯ .……… …..6分（2）由（1）知()1213n n a n -=-⨯，则()0121133353 (213)n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯所以()1233133353...213nn S n =⨯+⨯+⨯++-⨯ .……… …..8分 两式相减得：()1231212(333...3)213n n n S n --=+++++--⨯0123112(3333...3)n -=-++++++()132131213nnn ---⨯=-+⨯-()213n n --⨯()2232n n =-⨯- 所以()131nn S n =-⨯+ . .……… …..12分19．解：（1）过点B 作BM ⊥AE ，垂足为M ，过点C 作CN ⊥ED 于N ，连接MN ，如图所示；∵平面BAE ⊥平面ADE ，平面DCE ⊥平面ADE ， ∴BM ⊥平面ADE ，CN ⊥平面ADE ，∴BM ∥CN ； 由题意知Rt △ABE ≌Rt △DCE ，∴BM ＝CN ， ∴四边形BCNM 是平行四边形，∴BC ∥MN ；又BC ⊄平面ADE ，MN ⊂平面ADE ，∴BC ∥平面ADE ； …… …..5分 （2）由已知，AE 、DE 互相垂直，以E 为原点，ED 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系E −xyz ，如图所示；则E （0，0，0），B （0，2，2），C （2，0，2），(0,2,2),(2,0,2)EB EC ==u u u r u u u r，设平面CEB 的法向量为n r＝（x ，y ，z ），则00n EB n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即220220y z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令y ＝−1得n r ＝（−1，−1，1）；……… ….8分设平面AEB 的法向量为m u r ＝（x ，y ，z ），则00m EA m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得m u r＝（1，0，0），……… ….9分 3cos ,3||||31m n m n m n ⋅<>===-⨯⨯u r ru r r u r r ，……… ….11分二面角A −BE −C 的平面角是钝角，余弦值为3-． ……… ….12分 20. 解：（1）:2360l x y --=Q 与椭圆的一个交点A 为椭圆的右顶点(3,0)A ∴.又1BF x ⊥轴，得到点2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 2222333260221a a b c b a c a b c =⎧=⎧⎪⎪⎪∴-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，椭圆E 的方程为22198x y +=。