石家庄二中2019--2020学年度高一年级第二学期期中考试
数学试卷(线上)
（时间：120分钟，分值150分，命题人梁平，朱秀华）
一．选择题（共12题，每题5分，11,12题为多选题，其余均为单选）1．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是（）
A ．ac 2＜bc 2
B ．
C ．a 2＞ab ＞b 2
D ．
2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2+S 4，a 2＝﹣1，则a 4＝（）A ．﹣7B ．﹣10C ．10D ．12
3．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（）
A ．BD ⊥SA
B ．AD ⊥S
C C ．平面SAC ⊥平面SB
D D ．AC ⊥SB
4．若函数f （x ）＝x
a
x
4（x ＞0，a ＞0）当且仅当x ＝2时取得最小值，则实数a 的值为（）A ．12B ．24C ．16D ．36
5．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，BB 1的中点，则异面直线AF ，B E 所成角的余弦值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在△ABC 中，c
c a B 22cos
2
+=，则△ABC 为（）
A ．等腰直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
7．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）
A ．
B ．
C ．
π3
7
D ．
8．已知数列a 1，是首项为4，公比为的等比数列，则a 4等于
（）A ．4
B ．32
C ．64
D ．128
9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1,3
==b B π
，求c a +的取值范围（
）
A ．（1，）
B ．（，2]
C ．（1，2]
D ．（1，2）
10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ﹣2，若存在两项a n ，a m ，使得a n •a m ＝64，
则
n m 16
1+的最小值为（）A ．521B ．
6
25C ．
2
9
D ．
3
17多选题
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，且满足a 1＞0，S 11＝S 18，则对S n 描述正确的有（）A ．S 14是唯一最小值B ．S 15是最小值C ．S 29＝0D ．S 15是最大值12．在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB ＝5
5
-，则（）
A ．
B ．△AB
C 的面积为8
C ．△ABC 的周长为
D ．△ABC 为锐角三角形
二．填空题（共4题，每题5分）
13．已知数列{a n }满足a 1＝1，3a n +1a n ＝a n ﹣a n +1，则通项a n ＝．
14．函数f （x ）＝⎩⎨
⎧>≤-)
0()
0(1x x x ，则不等式xf （x ）﹣x ≤2的解集为
15.在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ．△ABC 的面积S 满足
S ＝b 2+c 2﹣a 2，若a ＝
，则
B
b
sin ＝．
16.对于数列{a n }，定义
为{a n }的“优值”，现已知某数列的
“优值”
，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则
2020
2020
S ＝．
三．解答题（共6题，17题10分，其余均为12分，共70分）17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且＝．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若b ＝4，cos C ＝，求△ABC 的面积．
18．已知等差数列{a n }中，826=-a a ，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设
，数列{b n }的前n 项和为S n ，若11
1
=
n S ，求n 的值．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ≠90°,CD AB //，
PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2,PA ＝AD ＝DC ＝1．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）求点D 到平面PBC 的距离．
20．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝2．
（1）求△PAC的面积；
（2）求PB的长度．
21．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前2020项的和．22.如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影E在AC上，
DF⊥AB于F．
（Ⅰ）求证：BC平行平面DEF；
（Ⅱ）若∠BAC＝∠ADC＝，求直线BE与平面DAB所成角的余弦值．。