高中数学教材变式题汇总：平面向量一、平面向量的实际背景与基本概念 1．（人教版P85例2）如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 相等的向量。

变式1：如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OD u u u r 、DC u u u r共线的向量。

变式2：如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA u u u r的模相等的向量以及方向相同的向量。

二、平面向量的线性运算 2.（人教版第96页例4）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u rb ， 你能用a ，b 表示向量 AC u u u r ，DB u u u r吗？变式1：如图，在五边形ABCDE 中，AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CD =u u u r c ，EA =u u u rd ， 试用a ，b ， c ， d 表示向量CE u u u r 和DE u u u r.解：CE BE CB BA AE CB =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( a + b + d ) ()DE EA AB BC CD =-+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( d + a + b +c )变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA =u u u r a ，OB =u u u rb 则下列各表述是正确的为（ ）A ．OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r B ．OC OD AB +=u u u r u u u r u u u r C ．CD =-u u u r a + b D ．BC =-u u u r(a + b )正确答案：选D变式3：已知OA =a ，OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）A. a +b +c +d =0B. a －b +c －d =0D CA BD EC A BD C OA BB AC O FD E图1B AC O FD E 图2C. a +b －c －d =0D. a －b －c +d =0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD 中，若12AB CD =-u u u r u u ur ，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形 正确答案：选C变式5：已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a －b )垂直的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】 ∵AD =CD BC AB ++=－8a －2b =2BC ，∴BC AD //.∴四边形ABCD 为梯形.正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ） A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC ),λ∈(0,22) C.λ(AB －AD ),λ∈(0,1)D.λ(BC AB -),λ∈(0,22)【解析】 由向量的运算法则AC =AB +AD ，而点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且|AP |＜|AC |,∴AP =λ(AB +AD ),λ∈(0,1).正确答案：选 A变式8：已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a r ，CA =b r，AB =c r ,则下列各式： ①EF =21c r －21b r②BE =a r +21b r③CF =－21a r +21b r④AD +BE +CF =0r其中正确的等式的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4正确答案：选B 3．（人教版第98页例6）如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA =u u u r a + b ，OB =u u u ra + 2b ， OC =u u u ra + 3b ，你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？b a变式1：已知OA =u u u r a + 2b ，OB =u u u r 2a + 4b ，OC =u u u r3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b ，AC OC OA =-=u u u r u u u r u u u r2a + 4b ，∴ 2AC AB =u u u r u u u r所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA =u u u r a + b ，(2)OB m =-u u u r a + 2b ，(1)OC n =+u u u ra + 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．解：(3)AB OB OA m =-=-u u u r u u u r u u u ra +b ，AC OC OA n =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =u u u r u u u r ，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．4．（人教版第102页第13题）已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF HG =u u u r u u u r变式1：已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r .证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r三、平面向量的基本定理及坐标表示2.（人教版第109页例6）已知a = (4，2)，b = (6，y )，且a // b ，求 y ． 变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（ ）A ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭，- B ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，-C ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭， 或1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，- D ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭， 或1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，-DCE FAAPQBab正确答案：选C变式2：已知a (1,2)=，b (),1x =，当a +2b 与2a －b 共线时，x 值为 （ ）A ．1B ．2C ．13 D ．12正确答案：选D 变式3：已知A (0,3) 、B (2,0) 、C (－1,3) 与2+方向相反的单位向量是( )A ．(0,1)B ．(0,－1)C ． (－1,1)D ．(1,－1) 正确答案：选A变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k 为何实数时， k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ 解：因为 k a －b ()21k =--，，a +3b ()73=，．由已知得，()3270k -+= 解得13k =-，此时，k a －b 713⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a +3b ()73=，，二者方向相反．2.（人教版第110页例8）设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ，． (1) 当点P 是线段12P P 上的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求P 的坐标变式1：已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =u u u r u u u u r，则P 点坐标是 （ ）A ．()8,1-B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 正确答案：选B变式2：如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝ 2133+a b ，OQ u u u r ＝ 1233+a b (用a 、b 表示)四、平面向量的数量积 5．（人教版第116页例3）已知|a |＝6，|b | ＝4且a 与b 的夹角为60︒，求 (a + 2b)·(a 3-b ) ．变式1：已知()()3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r rg 那么a r 与b r 夹角为A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒ 正确答案：选C变式2：已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b ）·a 等于 （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 正确答案：选B变式3：在△ABC 中，已知|AB |=4，||=1，S △ABC =3，则AB ·等于（ ）A.－2B.2C.±2D.±4 正确答案：选C变式4：设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ，∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ． 2.（人教版第116页例4）已知|a |＝3，|b | ＝4且a 与b 不共线，k 为何实数时，向量a + k b 与a k -b 互相垂直？ 变式1：已知a ⊥b ，|a |＝2，|b | ＝3，且向量3a + 2b 与k a -b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．32± D ．1正确答案：选B 变式2：已知|a |＝1，|b | ＝2且（a －b ）⊥a ，则a 与b 夹角的大小为 45º ． 2.（人教版第119页 第11题）已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标． 变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j 正确答案：选C变式2：已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若k 2-与垂直，则实数k =（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．2 正确答案：选B 变式3：若非零向量,互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ）A ．-=+B ．||||-=+C ．0))((=-+b a b aD ．0)(2=-b a 正确答案：选B变式4：已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值． 解：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-． ∴ b ＝（2， 38-） ． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 23）．而b －c ＝（2，38-）－（2，23）＝（0，－256），∴ |b －c |＝256．（人教版第118页例5）已知A (1，2)，B (2，3)，C (2-，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明．变式1：O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足()()0OB OC OC OA -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆一定为（ ）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形 正确答案：选C变式2：已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA ＋OB ＋OC ＝0，则O 是△ABC 的（ ） A ． 重心 B ． 垂心C ． 内心D ． 外心正确答案：选A变式3：已知02=+⋅AB BC AB ，则△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 正确答案：选B变式4：四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===y x （1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。