§1 差分逼近的基本概念
考虑二u dx2
qu
f,
a x b,
(1.1)
u(a) , u(b) ,
(1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, ,
为给定常数.
① 将其分成等分，分点为
xi a ih, i 0,1,
,N; h ba N
将方程 (1.1) 在节点 xi 处再离散化.
由 Taylor 展开得
u ( xi 1 )
2u(xi ) h
u( xi 1 )
d 2u
dx
2
i
h2 12
d 4u
dx4
o(h3 )
其中 [ ]i 表示方括号内的函数在 xi 点取值.
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3
).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
Lhui
ui1 2ui h2
ui1
qiui
fi,
称 R i(u) 为差分方程 (1.3) 的截断误差. 形成关于 ui 的线性代数方程组
Lnui
ui1 2ui h2
ui1
qiui
fi ,
i 1, 2,
, N 1
(1.4)
u0 , uN
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
差分法求解的主要步骤： (1) 对求解区域做网格剖分.
一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元. 二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与 坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等. (2) 构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法 直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法). 差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究. (3) 差分方程的解法.
第三章 椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种 主要数值方法. 两种方法的主要差别：离散化的第二步. 有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发， 用数值微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用 Ritz-Galerkin 方法导出相应的线性代数方程组， 但基函数要按特定方式选取.
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
以 I h 表示网格内点 x1, x2, , xN1 的集合， Ih 表示网格 内点和界点 x0 a , xN b 集合. 定义在 I h 或 In 上的函数 uh (xi ) ui 称为 In (or In ) 上的网函数. 对 I h 上的网函数引进如下范数：
lim
h0
||
Rh
(u)
||
0,
(1.6)
称差分算子 Lh 逼近微分算子 L ，并称 (1.6)
为相容条件.
注 当用 Lh 逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的
阶也就不同.
|| Rh (u) ||c O(h2 )， || Rh (u) ||0 O(h2 )， || Rh (u) ||1 O(h).
称差分方程关于右端稳定.
定理1.1 若边值问题的解 u 充分光滑，差分方程按
|| || 满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解 uh
按 || || 收敛到边值问题的解 u ，且有与 || Rh (u) || R
相同的收敛阶.
§2 两点边值问题的差分格式
考虑两点边值问题
Lu
d dx
p
du dx
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
i 1
2
hi2 24
p
d 3u dx3
i
O(h3 )
(2.4)
p(
x i
1 2
)
u
(
xi
1 ) hi
1
u
(
xi
)
p
du dx
i 1
2
h2 i 1
24
p
d 3u dx3
i
O(h3 )
将 (2.5) 减 (2.4) 再除以 hi hi1 , 得
其中 定义1.1
|| uh
||c
max
1i N 1
|
ui
|,
N 1
|| uh ||02
hui2 ,
i 1
|| uh ||12 || uh ||02 | uh |12 ,
| uh
|12
N i 1
h
ui
ui1 h
2
.
设 U 是某一充分光滑的函数类， Rh (u) 是由截
断误差定义的网格函数. 若对任何 u U, 恒有
Ii : xi1 x xi , i 1, 2, , N
hi xi xi1,
h
max i
hi
.
于是，得到 I 的一个网格剖分.
(2) 对 I = [a, b] 进行对偶剖分
取 xi1, xi 的中点
1
x
i
1
2
2
xi1 xi
,
i 1, 2,
,N
称为半整数点，则
a x0 x1 x3
定义1.2 当 h 充分小时，若 (1.4) ～ (1.5) 的解 uh 存在，
且按某一范数
||
||
有
lim
h0
|| uh
u
||
0,
称 uh 收敛到边值问题的解 u .
定义1.3 对于差分方程 Lhvi fi , i 1, 2, 3, , N 1,
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数 数 M 和 h0 , 使 || vh || M || fh ||R , 0 h h0
r
du dx
qu
f,
a xb
(2.1)
ua , ub
(2.2)
其中
p C[a, b], p(x) pmin 0, r, q, f C [a,b],
, 是给定的常数.
2.1 直接差分法
(1) 取 N+1 个节点将 I =[a, b] 分成 N 个小区间:
a x0 x1 xi xN b
x
N
1
xN
b
2
2
2
构成 I 的一个对偶剖分.
(3) 将方程 (2.1) 在内点 xi 处离散化.
u(xi1) u(xi1) hi hi1
du dx i
hi1 hi 2
d 2u
dx2
i
O(h2 )
(2.3)
p(
x i
1 2
)
u(
xi
)
u( hi
xi
1
)
p
du dx i1
2
hi2 24