一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。

二．（13分）设有椭圆型方程边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-=-==<<<<-=∂∂+∂∂====x u n u u y u u y x yx y ux u y y x x 2,1122.00,3.002.003.002222 用1.0=h 作正方形网格剖分 。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A U U U U 三．（12）给定初值问题xu t u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。

试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。

1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。

思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。

思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。

五．（12分）对抛物型方程22x ut u ∂∂=∂∂，考虑Du Fort-Frankel 格式))((121111211k l k l k l k l k l k l U U U U hU U +-+--+++-=-τ 试论证该格式是否总满足稳定性的Von-Neumann 条件？六． （12分）（1）由Green 第一公式推导Green 第二公式：⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂∆-∂∆∂+∆⋅∆=∆ds n v u n u v vdxdy u vdxdy u G G ])([)(2（2） 对双调和方程边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=∂∂+∆=∂∂=∈=∆ΓΓΓ+Γ0,),(][),(,),(),(),(2121212αϕαy x n u u y x g n u y x g u G y x y x f u ，G ∂=Γ+Γ21选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性泛函和线性泛函：=),(v u A =)(v F相应的虚功问题为： 极小位能问题为 七．（12分）设有常微分方程边值问题()()⎩⎨⎧=-='<<=+''-1,1,)(b y a y b x a x f y y将区间],[b a 作剖分：b x x x x a n =<<<<=Λ2101．若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条件： 2．画出基函数在],[b a 上的图形：3．将有限元解*h y 用基函数的形式表示出来：八．（12分）设有常微分方程边值问题⎩⎨⎧==<<=+''-1)1(,0)0(10,2y y x x y y1. 转化为相应的变分问题选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性性泛函和线性泛函：=),(z y A =)(z F2. 将[1,0]二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。

参考解答二．（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++1.0)4(10)4(12031210012C D A A B c U U U U U h U U U U U h 即⎩⎨⎧=+-=++-801.148.14D C A C B A u u u u u u （2）⎩⎨⎧=-+=+-52.02.42599.02.42D C B D B A U U U U U U 或⎩⎨⎧=+-=+-08.12.3404.12.34D C B A U U U U （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----52.0599.0801.18.12.4210102.4214010114D C B A u u u u 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----08.104.1801.18.12.3400002.3414010114D C B A u u u u 2238108.14104.121801.1h h h h +=+=+-= 三．1.125.05.025.0)1(2)1())1(01000101200012101121=++=+-+-=+-=----U U U u r u r r u r ru u r u四．Box 格式，二阶 五．练习题。

总满足。

六．1．在Green 第一公式()()⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂-+=∆-GGy y xxvds nud v u vu vd u σσ中 ①将v u 与位置对换，并进一步换u u ∆-→ ②在原Green 公式中换u u ∆-→2．取⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∈=ΓΓ+Γ2122121,,g n u g u H u u H F⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∈=ΓΓ+Γ0,0,12122n u u H u u H20H v ∈∀,由Green 第二公式有()()⇒=∆v f v u ,,2()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+=∂∂∂∂+∆⋅∆ΓG Gds n vvd f ds n v n u d v u ϕσασ2()⎰⎰⎰∂∂∂∂+∆⋅∆=ΓGds nvn u d v u v u A 2),(ασ， =)(v F ⎰⎰⎰∂∂+Gds nv vd f ϕσ虚工问题：求2F H u ∈*，使()()20,H v v F v u A ∈∀=*极小位能：求2F H u ∈*，使()()()()u I u F u u A u IFH u 2min ,21∈****=-=七．1．1,,2,1,0,,0,1)(-=⎩⎨⎧≠==n i ij ij A j i Λϕ1,,1,0,0)(-=='n i A j i Λϕn i A j i ,,2,1,0)()1(Λ==ϕn i ij ij dxd jA i ,,2,1,,0,1)1(Λ=⎩⎨⎧≠==ϕ2．∑∑==+=ni iini iihx m x y x y 0)1(0**)()()(ϕϕ∑∑=-=+-+=ni i i n n i iix m x x x y 1)1()1(01*)()()()(ϕϕϕϕ八．1. 取()(){}()(){}010,,11,00,11011==∈===∈=y y H y y H y y H y y H E,10H ∈∀η作内积 ()()ηη,,2x y y =+''-，分部积分()⎰⎰=+''1210dx x dx y y ηηη ()()ηηF y A =,虚工问题：求1EH y ∈*，使()()10,H F y A ∈∀=*ηηη 极小位能：求1EH y ∈*，使()()()()y I y F y y A y I EH y 1min ,21∈****=-=2. 构造分段线性的结点基函数,1ϕ并补充20,ϕϕ则21*120*)(ϕϕϕ+==∑=*y x y y i i i,15.0125.00015.0225.00221⎩⎨⎧≤≤-≤≤=⎩⎨⎧≤≤-≤≤=x x x x x x x ϕϕ，有限元方程为：),()(),(211*111ϕϕϕϕϕA F y A -=*1133y =25192+231311264= ，*10.47236y ≈ （理论解为：122()()21x xy x e e x e--=++++，(0.5)0.47636y =）。