f2
(t
)e
jt
dtd
f1
F2
(
j)e
j
d
F2 j f1( )e j d
F1( j)F2( j)
例：求三角波的傅立叶变换。
f
(t)
0
t
t
其他
f (t) gτ(t)* gτ(t)
F () Sa( ) Sa( ) 2Sa2( )
2
2
2
应用：系统响应的频谱
因 y(t) f (t) * h(t)
若 f (t) F()
则 f (t)ej0t F[ j( 0 )]
f
(t) cos0t
1 2
F[
j(
0)
1 2
F[
j(
0 )]
图中 fa (t) gτ(t) cos0t
则
Fa ( j)
2
Sa
(
0
2
)
Sa ( 0 )
2
课堂练习：
已知f (t) F ( j)，求y(t) f (3 2t)e j4t的频谱Y ( j).
傅里叶变换的性质与应用
线性 若
则
f1(t) F1(), f2 (t) F2 () a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1() a2F2 ()
例：
sgn(t)
1 1
t0 t0
sgn(t)
2
(t)
1
F
2[
()
1
j
]
2(j2)
* 脉冲展缩与频带变化（尺度变换）
若 f (t) F F ( j) 则 f (at) F 1 F ( j )
2k(cos b cos a)
所以
( j)2 F ( j) 2k(cosb cosa)
F(
j)
2k
2
(cosa
cosb)
* 时域积分特性
若 f (t) F()
则
t
f
( )d
F (0)
()
F () j
,
F() 0 0
F () j
,
F() 0 0
说明：
F() 0
F (0)
f
(t)dt
2
Sa( )(1 2 cosT )
2
Sa(
2
)
sin( 3T )
2
sin(T )
2
课堂练习： 求图示信号f(t)的傅里叶变换F(jω)
解：
f (t) g2 (t 1) g2 (t 1)
g2 (t) 2Sa()
F ( j) 2Sa()e j 2Sa()e j j4Sa()sin
* 信号的调制与频谱搬移（调制定理）
例 设信号f( t )由三个矩形脉冲组成，其脉冲相邻间
隔T与脉宽之比T/ =3，如下图所示，试求其频谱 函数F( j )。
f (t) gτ(t) gτ(t T) gτ(t T)
解 该信号为非周期信号。由于
f (t) gτ(t) gτ(t T) gτ(t T)
由时移性质，得
F ( j) Sa( )(1 ejT e-jT )
解：
Sgn(t) 2
j
2 2Sgn()
jt
jSgn()
F3( j) j Sgn ()
* 卷积定理
设 f1(t) F1(), f2 (t) F2 () 则 f1(t)* f2 (t) F1() F2 ()
证明：F f1t* f2 t f1 f2 t d e jt dt
f1
aa
时域压缩，频域展宽；时域展宽，频域压缩。
* 信号的延时与相位移动（延时特性）
因为
若 f (t) F( j) 则 f (t t0 ) F ( j)ejt0
F ( j) F ( j) ej()
故
F ( j)ejt0 F ( j) ej[()t0 ]
即信号时延后，其幅度谱不变，各分量相位变化。
f
(t)e
j0t
1
2
F(
j) * 2
(
0 )
F
j(
0 )
* 频域卷积定理
f1(t)
f2
(t)
1
2
F1() *
F2
()
* 时域微分特性
若 f (t) F() 则 f (t) jF()
如
(t) j
(t)
(t)
j[
()
1
j
]
1
例：如图所示梯形脉冲信号，试求其频谱函数F(j)。
f(t)
A
设k A ba
t
b -a
f
a
(t)
b
k
t
ba
ab
f (t)
k (t b)
k (t b)
-b -a
t ab
k (t aF[ f (t)] ( j)2 F[ f (t)] ( j)2 F ( j)
由图 F[ f (t)] k(e jb e ja e ja e jb )
解：
Y(
j)
1
F[
j
(
4) ]e
j 3 (4)
2
2
2
* 时-频对称性
若 f (t) F ( j)， 则有 :F(t) 2 f ()
例：f1(t) 1,
f2
(t)
sin 2t
t
,
求F1( j)和F2 ( j)。
F1( j) 2 () F2( j) g4()
例： 求函数1的频谱函数。 t
故 Y () F() H (j)
即系统响应的频谱等于输入信号频谱F( )与系 统频率特性H( j )的乘积。
H (j)
-
h(t)ejtdt
卷积定理揭示了信号时域与频域的运算关系， 在通讯、信息传输等工程领域中具有重要理论意义 和应用价值。
* 由卷积定理可得出信号的时移特性和频移特性:
f (t t0 ) f (t) * (t t0 ) F ( j)e j0t