N
M
ypn：方程 dk yn k pk xn k，yn 0，n 0的解，
k 0
k 0
称为零状态响应（zero state solution）
例
解：（1）零输入响应
yzi[n] a1(3)n a2 (2)n，n 0
y[0] y[1]
y[1] y[0]
6
6 y[2] y[1]
解：（1）齐次解
n n1 6n2 0 1 3, 2 2
yc[n] a1(3)n a2 (2)n （2）特解
设yp 2，n 0
（3）全解 y[n] a1(3)n a2 (2)n 2，n 0
代入初始条件可得a1 1.8，a2 4.8 y[n] 1.8(3)n 4.8(2)n 2，n 0
y[n]
1
N 1
x[n k]
N k0
平滑数据中的随机变化
➢去噪
x[n] sn dn
y[n]
1
M 1
x[n k]
M k0
4.2 离散时间系统的分类
➢线性系统 Linear Systems ➢移不变系统 Shift-Invariant Systems ➢因果系统 Causal Systems ➢稳定系统 Stable Systems ➢无源和无损系统 Passive and Lossless Systems
差分方程与冲激响应
M
N
差分方程： yn pk xn k dl yn l
稳定系统
冲激响应绝对可和
证明：
(1) 先证：S 系统为稳定(BIBO)系统
假设x[n]有界，x[n] Bx，则有
y[n] h[k]x[n k] h[k] x[n k]
k
k
Bx h[k] BxS k
(2)再证：系统为稳定系统 S hn n
假设 y[n] By ，令
k 0
特例一：N=0
l 1
=0
M
yn pk xn k
k 0
输出仅与输入有关，无反馈 非递归系统 (non-recursive)
yn xn xn 1 xn 2 xn 3
差分方程的特例(2)
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
特例二：M=0
=0 l1
N
y[n] dl yn l
0x1n / L n0
n 0， L， L， otherwise
y1
n
n0
0x1n
n0
/
L n 0，
otherwise
L，
L，
yn
x0 , x1, x2 , x3，
2
x0 ,0, x1,0, x2 ,0, x3，0,
2
0,
x0
,
x1,
x2
,
x3，
0,0,
x0 ,0,
x1,0,
k
1
1
要使y1[n0 ] y2[n0 ]，需要 h[k]x1[n0 k] h[k]x2[n0 k]
k
k
上式当且仅当h[k] 0，k 0时成立
4.5 简单的互联
➢串联 级联（Cascade Connection）
h1[n] h2[n]
h2[n] h1[n]
h1[n]* h2[n]
h[n] [n] 1 ([n 1] [n 1])
2
4.4 LTI离散时间系统的时域特性
x[n]
T x[n]
y[n]
如何分析LTI系统的时域输入输出关系？
任何序列可分解成如下形式：
x[n] x[k][n k] — —信号分解 k
y[n] T{x[n]} T{ x[k][n k]} LTI系统的时域k输入输出关系 可以由x其[k冲]T{激[响n 应k完]}全—确定—线性 k x[k]h[n k] — —时不变 k
l 0
k 0
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
d0 1
输入
反馈
激励
预测
差分方程的参数：决定系统的特性 差分方程的阶数：Max(N,M)
N
M
பைடு நூலகம்
dl yn l pk xn k
l 0
k 0
差分方程的系数
差分方程的特例(1)
M
N
yn pk xn k dl yn l
第4章 离散时间系统 将输入序列映射成输出序列的变换或算子
x[n] T[] y[n]
y[n] T{x[n]}
累加器(Accumulator)
三种不同的表示方式：
n
y[n] x[l] l
y[n] y[n 1] x[n]
n
y[n] y[1] x[l], l 0
n0
N点滑动滤波器 (N-point moving-average filter)
yn xnh1nh2n xnh1nh2n
hn h1n h2n
➢逆系统 ( Inverse System)
通信系统
x(n) h1(n)
h2 (n) x(n)
x(n) (h1n h2n) x(n)
h1nh2n [n]
➢ 并联（Parallel Connection）
h1[n] h2[n]
h1[n] h2[n]
n
n
输出能量等于输入能量
例： yn xn N是无源系统或无损系统吗？
yn2 2 xn2
n
n
当 1时为无源系统， 1为无损系统
4.3 冲激响应 系统对单位冲激信号的响应
[n] T (•)
h[n]
例：求下面系统的单位冲激响应
y[n] x[n] 1 (x[n 1] x[n 1]) 2
4.7 有限冲激响应系统
(Finite Impulse Response，FIR)
hn 0 n N1 and n N2
N1
yn hkxn k kN2
脉冲响应长度有限
yn1xn2xn 13xn 24xn 3
x[n]
z1 x[n 1]
z1 x[n 2]
x[n 3]
z 1
1
2 流图？3
分解法（输入和初始条件的因素分开）
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
=0
零输入：完全取决于初始状态 齐次通解 yc (n) 零状态：初始为零 完全取决于输入 特解 yp (n)
系统响应 = 零输入响应 + 零状态响应 y[n] yc[n] yp[n]
瞬态响应
稳态响应
(1) 齐次解的解法：
l 1
自反馈
正
自激
负
衰减
等
周而复始
最初激励？
一般情况 M≥0, N>0
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
输出与输入及以前输出均有关 有反馈 递归系统 (recusive)
由差分方程导出系统响应
M
N
yn pk xn k dl yn l
k 0
l 1
迭代法 取决于：输入、初始条件
7 13
a1 3a1
a2 2a2
a1 5.4，a2 1.6
yzi[n] 5.4(3)n 1.6(2)n，n 0
（2）零状态响应 yzi[n] a1(3)n a2 (2)n 2，n 0 y[0] x[0] 8 y[1] x[1] y[0] 0 a1 3.6，a2 6.4 yzs[n] 3.6(3)n 6.4(2)n 2，n 0
yn xnh1n xnh2n xnh1n h2n
hn h1n h2n
例：
h1[n]
h2[n]
h3[n]
h4[n]
hn h1n h2n(h3n h4n)
4.6 有限维LTI离散时间系统
LTI系统有几种表示方法？ • 差分方程 • 冲激响应 • 频率响应 • 传递函数 • 流图
差分方程
N
M
dl yn l pk xn k
n
11n
n
22
L
N Nn
如果有L个重根，则齐次解为
yc
n
11n
2n1n
3n
2 n 1
L
LnL11n
n
L1 2
L
N Nn L
（2）特解的解法：
选择与x[n]具有相同形式的特解，代入差分方程解出特解中的 未知参数。（注：特解与通解形式相同时需要作特殊处理）
例 y[n] y[n 1] 6y[n 2] x[n] 输入序列为x[n] 8u[n]，初始条件为y[1] 1，y[2] 1
x[n]
b0
y[n]
z1 b1 流图？a1
x[n 1]
z 1
b2
a2
x[n 2]
z 1
y[n 1]
z 1
y[n 2]
已知
yn b0xn b1xn 1 b2xn 21yn 12 yn 2
b0 3 b1 2 b2 1 1 0.5 2 0.4
求该系统的单位冲激响应 响应长度无限
LTI系统不同表示方法间的关系
线性卷积
y[n] x[n] h[n] x[k]h[n k]
k
x[n k]h[k]
k
➢冲激响应的作用
1、对于任意输入求系统的输出
y[n] x[n] h[n]
2、是线性离散时间系统的基本特性 可用于系统分析
语音、生物医学信号分析
系统稳定性与冲激响应的关系
系统为BIBO系统 S hn n
system
y[n]
x[n n0 ] Shift-Invariant Systems