E E1 E2 2a cos(km z mt ) cos(k z t )
令 A 2a cos(k m mt ) 则
E A cos(k z t )
合成波是一个频率为
振幅随时间和位置在-2a与2a间变化
而振幅受到调制的行波，即
当
1 2 ,
若在考察时间内，两光波的初相位保持不变，光
程差也恒定，则该点的强度不变，叠加区内各点的强 度也不变，则在叠加区内将看到强弱稳定的强度分布， 把这种现象称为干涉现象，产生干涉的光波称为相干 光波，其光源称为相干光源。
综上述：实际光波产生干涉的条件： 1.频率相同； 2.光矢量振动方向相同，或存在相互平行的振动分量； 3.位相差恒定。
幅之和，而振幅为零的位置称为波节。
波腹的位置由下式决定 波节的位置由下式决定
kz m (m 0, 2, 4,) 2
(1.8-12)
kz m (m 1,3,5,) (1.8-13) 2 2
相邻波节（或波腹）之间的距离为 2 相邻波节和波腹间的距离为 4 波节、波腹的位置不随时间而变
m
振幅变化缓慢，而光波的频率很高，E变化极快，不可 能直接探测，但却可以探测出调制波的光强。
合成波的光强为
I A2 4a 2 cos2 (k m z mt ) 2a 2 [1 cos 2(k m z mt )]
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种 强度时大时小的现象称为拍。 拍频等于 2 m ，即等于振幅调制频率的两倍，或等
叠加原理也是介质对光波的线性响应的一种反映
1.8.2 两个同频率、同振动方向单色光波的叠加和干涉
设两个频率相同、振动方向相同的单色光波分别发自光源 S1和S2，在空间某点P相遇，P到S1和S2的距离分别为r1和r2。 两光波各自在P点产生的光振动可以写为
E1 a1 exp[i (kr1 t )] E2 a2 exp[i (kr2 t )]
1 f ( z ) sin(5 z ) 5
1.10.2 非周期性波的分析
非周期性波呈现出波包的形状，要用傅里叶积分进行分析
非周期性波函数f(z)的分解
（1.10.4）
其中 （1.10.5）
例：
L z L A0 exp(ik0 z ) , when f ( z) when z L 0
(1.8-2) (1.8-3)
两列波交叠区域任意一点p的振动？ 方法：代数法、复振幅法和图解法
1.复振幅法 根据叠加原理，P点的合振动为
E E1 E2 a1 exp[i (1 t )] a2 exp[i ( 2 t )]
式中 1 kr1 , 对应的光强为
2 kr2
即波长较大的单色光波比波长较短的单色光波传播速度 大时（正常色散），群速度小于相速度
2. dv 0 (dn d 0) d 即反常色散，群速度大于相速度
dv 对于无色散介质， 0 群速度等于相速度 d
1.10 复杂波的分解
实际光源发出的光波不能认为是余弦或正弦函数表示的
单色光波，但可以将任何复杂的波动分解为一组由余弦 函数和正弦函数表示的单色波之和。
2
0
n(r2 r1 )
(1.8-7)
表示从S1和S2到P点的光程之差。 采用光程概念的好处是，可以把光在不同介质中的传播路 程都折算为在真空中的传播路程，便于进行比较。 位相差与光程差的关系为
2
D

光程和光程差
在真空中光的波长为 0，光速为c，进入折射率为n 的媒质中 后，波长 , 光速为 v ,由折射定律可知：
I1 I 2 2 I1 I 2 cos
I E E I1 I 2 2 I1 I 2 cos

(1.8-4)
式中
I1 a , I 2 a2
2 1
2
2 1
讨论
在P点叠加的合振动的光强I取决于两光波在叠加点的相位差。
2m
(m 0,1,2,)
n
(1.8-1)
实际上，通常计算的是诸波列的同一分量的叠加
标量相加
E(t) = E1(t) + E2(t) + • • • 它是讨论干涉、衍射和偏振等波动光学问题的重要基础
叠加原理成立条件：光波传播独立性
波传播的独立性:每一个波独立地产生作用，不因其
他波的存在而受影响。
如两光波相遇之后分开，每个光波仍保持原有的 特性（频率、波长、振动方向等），按照自己的传播 方向继续前进。
其频谱为
L
A(k )
L
exp[i(k k ) z ]dz
0
sin( k k0 ) L 2 A0 L ( k k0 ) L
强度分布如图所示
波列长度2L和波列所包含的单色波的波长范围Δλ的关系
由
k / L
得


2
2L
振幅调制包络的移动速度称为群速度，是合成波振幅确定
点的移动速度。 在色散介质中，由于两光波的频率不同，两光波以不同的 速度传播，这时，合成波的群速度不等于相速度。 由振幅不变条件求得群速度： 由振幅不变的条件
k m z mt 常数
vg km k1 k 2 k
m
c sin i 0 n v sin r
在媒质中光走的波程为 r，则传播了 个波长，相当于 真空中传播的波长个数为：
r
r

相当于真空中走过：nr 定义光程：
0 nr
L nr
光程为光在媒质中传播的波程与媒质折射率的乘积。 光程的物理意义： 光程等于在相同的时间内光在真空中通过的路程。
1.位相为 (t



2
) ，与z无关，表明合成波不在z上传播
2.合成波的振幅为
A 2a cos(kz ) 2
对于z上的每一点，都是频率为 振幅随z而变。

(1.8-11)
的简谐振动，相应的
A 2a cos(kz ) 2

(1.8-11)
1.不同的z值有不同的振幅，但极大值和极小值的位置不随 时间而变。 2.振幅最大值的位置称为波腹，其振幅等于两叠加光波的振
1.8-10 1.8-11
E1 a exp[i ( kz t )] E2 a exp[i (kz t )]
是由界面反射时引入的位相跃变
合成波的振幅为
E E1 E2 2a cos(kz ) exp[i (t )] 2 2
(1.8-10)


E E1 E2 2a cos(kz ) exp[i (t )] 2 2
(1.9-1) (1.9-2)
叠加后得合成波
E E1 E2 2a cos(km z mt ) cos(k z t )
式中
(1.9-3)
k m (k1 k 2 ) / 2
m (1 2 ) / 2
k (k1 k2 ) / 2
(1 2 ) / 2
D n(r2 r1 ) m (m 0, 1, 2,)
即光程差等于波长的整数倍时，P点有光强最大值
1 D n(r2 r1 ) (m ) (m 0, 1, 2,) 2
即光程差等于波长的半整数倍时，P点的光强最小
两光波在空间相遇，如果它们在源点发出时的初相位相 同，则光波在叠加区相遇点的强度将取决于两光波在该 点的光程差或位相差。
I E E a1 exp[i (1 t )] a2 exp[i ( 2 t )]

a1 exp[i(1 t )] a2 exp[i(2 t )] 2 2 a1 a2 a1a2 exp[i (1 t )] exp[i ( 2 t )]
1.8 单色光波的叠加和干涉
两个或多个光波在空间某一区域相遇时，发生光波的叠加。 一般频率、振幅、位相都不相同的光波叠加较复杂，本章只 讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加。
1.8.1 叠加原理
叠加原理：几个波在相遇点产生的合振动是各个波单独产
生的振动的矢量和。
数学表达： E E1 E2 En
1.8.3 光驻波
两频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色光 波的叠加，形成光驻波。 设反射面是Z=0的平面，为方便起见，假定界面的反
射比很高，可以设入射波和反射波的振幅相等。入射波和
反射波的表示式为
E1 a exp[i ( kz t )] E2 a exp[i (kz t )]
(1.8-5)
P点光强有最大值， I 4I 0
(2m 1)
(m 0,1,2,)
(1.8-6)
P点光强有最小值， I 0
பைடு நூலகம்光波在P点的位相差可写成
2 1 k (r2 r1 )
0 为单色光波在真空中的波长
n(r2 r1 ) 为光程差，记为
1 2
当 很小时，有 vg
d dk
d d (kv) dv vg vk dk dk dk
代入 k 2
（1.9-7）
dv vg v d
（1.9-8）
dv d
越大，波的相速度随波长的变化越大时，群速度与 相速度相差越大
1. dv
d
0 (dn d 0)
于两叠加单色光波频率之差。
光学拍：两个不同频率的单色光波的叠加
1.9.2光的相速度和群速度
单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度，即相速度。 相速度：由相位不变条件 k z t 常数 得