抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题,2009年四川卷12题等。
学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数()12-x f 的定义域是［0，1］，求()x f 的定义域。
解：()12-x f 的定义域是［0，1］，是指10≤≤x ，所以()12-x f 中的12-x 满足1121≤-≤-x 从而函数()x f 的定义域是：[]11,-.评析：一般地，已知函数()()x g f 的定义域是A ，求()x f 的定义域问题，相当于已知()()x g f 中x 的取值范围为A ，据此求()x g 的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是[]11,-，求函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域。
解：)(x f 的定义域是[]11,-，意思是凡被f 作用的对象都在[]11,-中，由此可得()251213211311121≤≤⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒≤-≤--x x x log 所以函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡251,. 评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数()()x g f 的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知()x g 的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知函数()x f 对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立。
（1）求()0f 与()1f 的值；（2）若()a f =2，()b f =3（a 、b 均为常数），求()36f 的值。
解：由已知对对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立.（1）令0==y x ，得()()()000f f f +=，()00=∴f .令1==y x ，得()()()111f f f +=，()01=∴f（1）令2==y x ，得()()()()a f f f f 222224==+=.令3==y x ，得()()()()b f f f f 232339==+=.令4=x ,9=y 得()()()()b a f f f f 22949436+=+=⨯=.评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，如取0==y x ，这样便得到了()0f 。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题例4. 设函数()x f 定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。
解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。
若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。
由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有0)]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题例5. 已知函数()x f 满足()()12112-=-+-x x f x f 求()x f 的表达式。
解：由已知()()12112-=-+-x x f x f ， ⑴令1-=x t ，则1+=t x 代入⑴，得()()122+=-+t t f t f 。
(2)在(2)中令t t -=，则()()122+-=+-t t f t f (3)()()322-⨯,得()()()121223+--+=t t t f()312+=∴t t f 。
∴所求函数解析式为：()312+=x x f . 评析：如果把1-x 和x -1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题例6. 设()x f 定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。
证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f =若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f所以0)(1)(>-=x f x f 又当0=x 时，01)0(>=f所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ，所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+=所以)(x f y =在R 上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题例7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数()x f 的奇偶性。
解：取1121=-=x x ，得：)1()1()1(f f f +-=-，所以0)1(=f又取121-==x x 得：)1()1()1(-+-=f f f ，所以0)1(=-f再取121-==x x x ，则)()1()(x f f x f +-=-，即)()(x f x f =-因为)(x f 为非零函数，所以)(x f 为偶函数。
七、周期性问题例8.已知()x f 是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R , ()()()11-++=x f x f x f 恒成立.(1)求证：()x f 是周期函数.(2)已知()23=f ，求()2013f .（1）证明：∵()()()11-++=x f x f x f ∴()()()11--=+x f x f x f ,则()()[]()()()()()()111112--=---=-+=++=+x f x f x f x f x f x f x f x f ，∴()()[]()[]()x f x f x f x f -=-+-=++=+11213，从而()()[]()()x f x f x f x f =+-=++=+3336，∴()x f 是周期函数且6是它的一个周期.(2)解:()()()23363352013==+⨯=f f f . 评析:在证明函数周期性问题上往往是抓住题目中对变量的任意性和等量关系反复迭代，最终得出对任意x 都有()()T x f x f +=，再有周期函数的定义，从而命题得证。
八、对称性问题例9. 已知函数)(x f y =满足()()2013=-+x f x f ，求()()x f x f -+--201311的值。
解：已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20130==b a ，，所以函数)(x f y =的图象关于点（0，2013）对称。
根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1x fy -=的图象关于点（2013，0）对称。
所以0220132201311=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x f x f 将上式中的x 用22013-x 代换，得()()0201311=-+--x f x f评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。
八、学科内综合问题例10. 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当x>0时，0<f （x ）<1。
（1）判断f （x ）的单调性；（2）设)}1()()(|){(22f y f x f y x A >⋅=，，}1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+-=，，，若∅=B A ，试确定a 的取值范围。
解：（1）在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令01==n m ，，得)0()1()1(f f f ⋅=，因为0)1(≠f ，所以1)0(=f 。
在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令x n x m -==，因为当0>x 时，1)(0<<x f所以当0<x 时1)(00<-<>-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以01)(1)(>>-=x f x f 又当x=0时，01)0(>=f ，所以，综上可知，对于任意R x ∈，均有0)(>x f 。
设+∞<<<∞-21x x ，则1)(001212<-<>-x x f x x ，所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <-⋅=-+=所以)(x f y =在R 上为减函数。
（2）由于函数y=f （x ）在R 上为减函数，所以)1()()()(2222f y x f y f x f >+=⋅即有122<+y x 又)0(1)2(f y ax f ==+-，根据函数的单调性，有02=+-y ax由∅=B A ，所以直线02=+-y ax 与圆面122<+y x 无公共点。