1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
5. 2x2 5
例.已知一元二次方程 x2 px q 0 的
两根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。
求：(1)
1 1 x1 x2
(2) x12+x22
解：由题意可知x1+x2=
-
2 3
, x1 ·x2=-3
(1) 1 1 = x1 x2
x1 x2
x1 x2
=
2 3
3
=
2 9
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2
∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x1x2
＝(-
2 3
)2
-2×(-3)＝6
4 9
设 x1, x2是方程 2x2 6x 3 0 的两根,
不解方程求下列式子的值
x1 x2 x2 x1
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值 ＋2= k+1
x1 ●2= 3k
解这方程组，得 x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
练习2：已知方程：5x2 kx 6 0,的一个根是2， 求它的另一个根及k的值
谈谈这节课的收获……
1.如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
求证： x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b 2a
b a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2
b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 ，那么：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0
特别的
如果方程 x2 px q 0, 的根为x1，x2 那么，x1+x2=__-_p__. x1x2= __q__.
求下列方程的两根之和与两根之积。
1. x2 15 2x 2. x2 6x 4 0
3. 2x2 3x 5 4. 3x2 7x 0
解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由韦达定理，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
方程
两个根
x1 x2 x2 3x 4 0 4 1
两根 之和
两根 之积
a与b 之间 关系
x1 x2
x1
•
x2
b a
3 4 3
a与c 之间 关系
c
a
4
x2 5x 6 0 2 3 5
65
6
2x2 3x 1 0 1 1
2
3 2
1 3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根
那么x1
x2
b a
,
x1
•
x2
c a
2、利用根与系数的关系已知方程的一个根 求另一个根及其字母系数。
3、利用根与系数的关系求某些式子的值。
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1x2 3x 1 0 23x2 2x 2
32x2 3x 0
44x2 1 2x
2、已知方程 3x2 19x m 0的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0 利用
根与系数的 关系，求下列式子的值：
x1 1x2 1