高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3 3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 5 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外6 接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 7 5、正弦定理的变形公式：8 ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； 9②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； 10③::sin :sin :sin a b c C =A B ；11④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 126、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 13 ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对14于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解） 157、三角形面积公式：16111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=17))()((c p b p a p p ---18 8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，192222cos c a b ab C =+-．209、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．2110、余弦定理主要解决的问题：22 ①已知两边和夹角，求其余的量。

23②已知三边求角）2411、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，25统一成边的形式或角的形式。

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： 26①若222a b c +=，则90C =； 27②若222a b c +>，则90C <； 28③若222a b c +<，则90C >． 2912、三角形的五心：30垂心——三角形的三边上的高相交于一点 31重心——三角形三条中线的相交于一点 32外心——三角形三边垂直平分线相交于一点33内心——三角形三内角的平分线相交于一点34 旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点353637第一章 解三角形单元测试38一 选择题：391.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ） 40A 4B 41 2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）42A 3B 2C 12 D 2433.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )44 A 90° B 120° C 135° D 150°454. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）46A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形47 5. △ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）48A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形496.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )50 A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 517. △ABC 中，8b =，83c =，163ABCS=，则A ∠等于 （ ）52A 30B 60C 30或150D 60或120538.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）54A 2B 12 C3 D 32559. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =56 （ ）57A 13B 12C 34D 0 5810.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 59 （ ）60A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定616211 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为63（ ）64A. 3400米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米6512 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 66 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )67A.10 海里B.5海里C. 56 海68里 D.53 海里 69二、填空题：7013.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。

7114.在△ABC 中，已知b =，150c =，30B =，则边长a = 。

7215.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。

7316.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形74的75面积为 。

767778三、解答题：7917（本题10分）在△ABC 中，已知边c=10, 又知cos 4cos 3A b B a ==，求边a 、b 的长。

8081 18（本题12分）在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形82状。

838419（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2 3 x+2=0的两根，角A、B满85足：862sin(A+B)－ 3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

878820（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结89本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下90球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）919293949596979899000102第一章解三角形单元测试参考答案03一、选择题04BABDD CCACA C05二、填空题（44⨯）061314- 14、1003或353c<< 16、307三、解答题 080915、（本题8分）10解：由cos cos A b B a =，sinB sinA b a =,可得 cos sin cos sin A BB A=，变形为sinAcosA=sinBcosB 11∴sin2A=sin2B, 又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=2π. ∴△ABC 为直角三角形. 12 由a 2+b 2=102和43b a =，解得a=6, b=8。

13 16、（本题8分）14 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2bB R=， 15 sin 2cC R=。

16 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b cR R R=⋅，即：2a bc =。

17又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 18因而b c =。

故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。

所以a b c ==，△ABC 19为等边三角形。

2017、（本题9分）21解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=32, ∵△ABC 为锐角三角形22∴A+B=120°, C=60°, 又∵a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 ,23∴c= 6 , 1sin 2ABCSab C ==12 ×2×32 =32 。

24 a ·b=2, ∴c 2=a 2+b 2－2a ·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,25 ∴c= 6 , 1sin 2ABCSab C ==12 ×2×32 =32 。

26 2728 18、（本题9分）29解： 设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所30示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB＝15°，OB ＝vt ，4vAB t ≤⋅。

31在△AOB 中，由正弦定理，得sin sin15OB ABOAB =∠，32 ∴62sin sin1562/44OB vt OAB AB vt ∠=≥⋅=而33 262)8384 1.741=->-⨯>，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB 不存在，因此，游34击手不能接着球.3536 37 3839。