内力在截面上的集度称为 应力(垂直于杆 横截面的应力称为正应力，平行于横截面的 称为 切应力 ) 。应力是判断杆件是否破坏的 依据。
单位是帕斯卡，简称帕，记作 Pa ，即 l 平方米 的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。
1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa 1GPa＝109Pa
二、拉(压)杆横截面上的正应力
平面假设
变形前的横截面，变形后仍为平面，仅其位置略作平移，这一假 设称为平面假设。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设可推 断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。 所以，横截面的正应力σ计算公式为： m n F F F
σ=
N
A
MPa
m
n
FN 表示横截面轴力（N） F A 表示横截面面积（mm2）
40KN
B C
30KN
FN1= 10KN
L
10KN
L
σ1 =
FN1 / A1 = 50 MPa FN2= -30KN σ2 = FN2 / A2 = 100 MPa 轴力图如图：
FN1 FN2
10KN
30KN
FN
x
30KN
由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。
由虎克定律
：
FN L L EA
L1 —试件拉断后的标距 A1 —试件断口处的最小横截面面积
L1 L0 伸长率: 100 % L0 A0 A1 断面收缩率 : 100% A0
L0 —是原标距 A0 —原横截面面积。
、 值越大，其塑性越好。一般把 ≥5％的材 料称为塑性材料，如钢材、铜、铝等；把 <5％的 材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。
FN L L EA
或
E
E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa
FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。 由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E 值越大， L就越小，所以 E 值代表了材料抵抗拉(压)变 形的能力，是衡量材料刚度的指标。
例3 如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出 2 轴力图。若杆件较细段横截面面积 ，较粗 A1 200mm 2 段 A2 300mm ，材料的弹性模量E 200GPa ，L 100mm 求杆件的总变形。 解：分别在AB、 10KN BC段任取截面， A 如图示，则：
曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到 达 d 点，在试件比较薄弱的某一局部 ( 材质不均匀或有缺 陷处)，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩 颈现象，试件很快被拉断，所以 de段称为缩颈断裂阶段。
塑性指标:
试件拉断后，弹性变形消失，但塑性变形仍保 留下来。工程上用试件拉断后遗留下来的变形 表示材料的塑性指标。常用的塑性指标有两个:
FN1=F2=8KN FN2=F2 - F1 = -12KN FN3=F2 + F3 - F1 = -2KN
轴力图如图:
F2
F2 FN A 8KN
F1
F1
FN2
F3 FN3
B -12KN
C
D
x
-2KN

例2 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
解：1)截面法求AC段轴力，沿截
面1-1处截开，取左段如图所示

b
a
O

五、 铸铁压缩时的力学性能

F
曲线没有明显的直线部分，应力 较小时，近似认为符合虎克定律。 曲线没有屈服阶段，变形很小时 沿与轴线大约成45°的斜截面发 生破裂破坏。曲线最高点的应力 值称为抗压强度 by 。
by
F O

铸铁材料抗压性能远好于抗拉性 能，这也是脆性材料共有的属性。 因此，工程中常用铸铁等脆性材 料作受压构件，而不用作受拉构 件。
10KN X 100mm 200GPa X 200 mm -30KN X 100mm 200GPa X 300 mm
2 2
可得：
LAB = LBC =
= 0.025mm = -0.050mm
L = - 0.025mm
第三节 材料在拉压时的力学性能

材料的力学性能：材料在外力作用下，其强度和变 形方面所表现出来的性能。它是通过试验的方法测 定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依 据。
弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二 者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。
2.屈服阶段
屈服点 s
曲线超过b点后，出现了一段锯齿形曲线，这一 阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像 失去了抵抗变形的能力，把这种应力不增加而应变 显著增加的现象称作屈服， bc 段称为屈服阶段。屈 服阶段曲线最低点所对应的应力 s 称为屈服点 ( 或 屈服极限)。在屈服阶段卸载，将出现不能消失的塑 性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并 把塑性变形作为塑性材料破坏的标志，所以屈服点 s 是衡量材料强度的一个重要指标。
by
●许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构
件的工作应力必须小于材料的极限应力。 塑性材料： 脆性材料：
s或 0.2 ns
b nb
n s、n b是安全系数: n s =1.4～1.7 n b ＝2.5～3.0
oa 段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符 合 虎 克 定 律 σ ＝ Ｅ ε ， 直 线 oa 的 斜 率 tanα =E 就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力 值记作σ p，称为材料的比例极限。曲线超过a点，图 上ab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。 但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab段也发生 弹性变形，所以ab 段称为弹性阶段。b点所对应的应 力值记作σ e ，称为材料的弹性极限。
屈服极限 s
A3 钢： 35 钢： 45 钢： 16Mn： 235 MPa 314 353 343
强度极限 b
372-392 MPa 529 598 510
四、铸铁拉伸时的力学性能
铸铁是脆性材料的典型代表。曲线没 有明显的直线部分和屈服阶段，无缩 颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很 小。断裂时曲线最高点对应的应力值 称为抗拉强度 b 。铸铁的抗拉强度 较低。 曲线没有明显的直线部分，应力与应 变的关系不符合虎克定律。但由于铸 铁总是在较小的应力下工作，且变形 很小，故可近似地认为符合虎克定律。 通常以割线Oa的斜率作为弹性模量E。
构件的承载能力：
强度---构件抵抗破坏的能力 刚度---构件抵抗变形的能力 稳定性---构件保持原有平衡状态的能力
内力的概念
构件在受外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质 点之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起的 构件内部相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
正应力、切应力
2.相对变形（线应变）： 单位长度的变形量。
纵向线应变
L L
横向线应变
′＝
d d
纵向线应变和横向线应变均为无量纲量
虎克定律 ：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一 限度时，杆的纵向变形与轴力FN 成正比，与杆长L成正比，与 横截面面积A 成反比。这一比例关系称为虎克定律。引入比 例常数E，其公式为:
工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材料和脆 性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型 代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具 有广泛的代表性。
一、拉伸实验和应力——应变曲线
1.常温、静载试验 ：L0=5~10d0
d0
F
L0
F
低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加 拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中试件承受的应力和 产生的应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的 曲线。

轴力: 拉(压)杆的内力。 由平衡方程可求出 轴力的大小 ：
m F m F F′N FN F F
FN F
规定：FN的方向离开截面为正 (受拉),指向截面为负(受压)。
以上求内力的方法称为截面法，截面法是求内力 最基本的方法。
注意：截面不能选在外力作用点处的截面上。 轴力图： 用平行于杆轴线的x坐标表 示横截面位置，用垂直于x 的坐标FN 表示横截面轴力的 大小，按选定的比例，把轴 力表示在x -FN 坐标系中， 描出的轴力随截面位置变化 的曲线，称为轴力图。 m F F
m
FN
x
例1 已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件 指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。 解:外力FR，F1，F2， F3将 杆件分为AB、BC和CD三 段，取每段左边为研究对 象，求得各段轴力为： 1 F2 F2 A 1 F1 B FN1 2 2 F3 C 3 D FR 3
第四节 拉压杆的强度计算 （与拉压静不定问题） 一、极限应力、许用应力和安全系数
●极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形是塑
性材料破坏的标志。屈服点 s或条件屈服极限 0.2 为塑性材料 的极限应力；断裂是脆性材料破坏的标志，因此把抗拉强度 b 和抗压强度 ，作为脆性材料的极限应力。
∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN
2)求BC段轴力，从2-2截面处截开， 取右段，如图所示
∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN
（负号表示所画FN2方向与实际相反）
3)右图为AB杆的轴力图
第二节 拉压杆横截面上的应力、
应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
假设材料无间隙、均匀地充满物体空间，各部分的性质相同。
（2）各向同性假设 假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。 （3）小变形假设 设定材料在外力作用下的变形与其本身尺寸相比极小，可 略去不计