所以
Mn1 = －MB = －955 N·m
式中负号表示实际扭矩的转向与所假设的相反，为负扭
矩。
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
同理，为求AC段的内力，在该段的任一截面Ⅱ-Ⅱ处将
轴截开，取右部分为研究对象（见图9-5 c），由平衡
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
对同一根传动轴来说，若调换主动轮和从动轮的位置， 把主动轮A置于轴的一端，如右端，则轴的扭矩图将 如图 9-6所示。这时轴的最大扭矩的绝对值是：
Mnmax = 1592 N·m。由此可见，传动轴上主动轮和从动轮 布置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两 者相比，显然以图8-5所示比较合理，此时，传动轴 所承受的最大扭矩较小，在同等条件下，其强度与刚 度容易得到保证。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形 在变形微小的情况下，可以观察到如下现象： ⒈两条纵向线均倾斜了相同的角度，使原来轴表
面上的小方格变成了平行四边形。 ⒉各圆周线均绕圆轴的轴线转动了一个角度，但
其大小、形状和相邻圆周线的距离均保持不 变。
建筑力学 第九章 扭转
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9.1 扭转的概念 扭转是生活与工程实践中常遇到的现象，也是
构件的四种基本变形之一。我们用螺钉旋具 拧螺丝钉时，在螺钉旋具上用手指作用一个 力偶，螺丝钉的阻力就在螺钉旋具的刀口上 构成了一个转动方向相反的力偶，这两个力 偶都是作用于在垂直于杆轴的平面内的，此 时，螺钉旋具杆就产生了扭转变形（如图a所 示）。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
根据平面假设，可得到两点结论：
1） 由于相邻截面间相对地转过了一个角 度，即横截面间发生了旋转式的相对错 动，出现了剪切变形，故截面上有剪应 力存在。又因半径的长度不变，故圆轴 无径向应力，且剪应力方向必与半径垂 直。
9.3 剪切胡克定理
二、剪切胡克定理
实验表明，当剪应力τ不超过材料的 剪应切变γ比成例正极比限（τP如时图，）剪。应即力τ与剪
τ= Gγ
(9-2)
式（9-2）称为剪切胡克定理。式中 的比例常数G称为切变模量，它 反映了材料抵抗剪切变形的能力 。它的单位与应力的单位相同。 各种材料的G值可由实验测定， 也可从有关手册中查得。钢材的
的剪应变为
tan DD R d
AD dx 同样离圆心为ρ处的
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
（一）变形几何关系 为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解 应力在横截面上的分布规律。为此，首先可通过 试验观察其表面的变形现象。取一根圆轴，实验 前先在它的表面上划两条圆周线和两条与轴线平 行的纵向线。实验时，在圆轴两端施加一对力偶 矩为M的外力偶，使其产生扭转变形，如图所示 。
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
(2) 内力分析。该轴需分成BA、AC两段来求其扭矩。现 在用截面法，根据平衡条件计算各段内的扭矩。
求BA段的内力时，可在该段的任一截面Ⅰ-Ⅰ处将轴截 开，现取左部分为研究对象（图9-5b），截面上的扭 矩先设为正向，由平衡条件ΣMx = 0得：
MB + M n1 = 0
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
根据观察到的这些现象，我们可 以作出如下假设： 各横截面在圆轴扭转变形后仍保 持为平面，形状、大小都不变， 半径仍为直线，只是绕轴线转动 了一个角度，横截面间的距离均 保持不变（称为平面假设）。
于是式（9-1a）变为 P 103 M 2 n60Fra bibliotek由此得
M 9549 P n
(9-1)
式中，M为外力偶矩，单位是牛顿米（N·m）；P为轴的
传递功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位
为转/分（r/ min ）。
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩 二、扭矩
圆轴表面所画的矩形ABCD变为平行四边形ABC/D/， 其变形程度可用原矩形直角的改变量γ表示，称为剪 应变（也称为切应变）。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
现再用过轴线的两径向平面OO / AD和O O / BC切出如图 所示楔形块，从图中可见，在小变形下，圆轴表面层
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
解:(1) 外力分析 按式（9-1）求出作用于各轮上的外力偶
矩
MA
9550 PA n
9550 50 300
1592N m
MB
9550 PB n
9550 30 300
955N m
MC
9550 PC n
9550 20 300
637N m
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各种产生扭转变形的构件,虽然外力作用在构件上的方式 有所不同,但是有两个共同的特点：在受力方面,构件 为直杆,并在垂直于杆件轴线的两个平面内,作用着一 对大小相等、转向相反的力偶（图9-2）;在变形方面, 受扭转构件的各横截面都绕杆轴线发生相对转动。杆 件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角,图9-2 中
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
为了使无论取哪一部分作为研究对象时，所求 得的同一截面上的扭矩有相同的正负号，对扭 矩右M手n四的指正代负表号扭按矩右的手转螺向旋，法若则此作时如大下拇规指定的：指以 向离开截面，即与横截面的外法线方向相同时 ，扭矩为正；反之为负，如图所示。
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切变模量G = 80～84 GPa.
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9.3 剪切胡克定理
可以证明，对于各向同性材料，弹性模量 E、切变模量G和泊松比μ，这三者之间 存在以下关系：
G E
2(1 )
（9-3）
由此可见，E、G和μ是三个互相关联的弹
性常数，若己知其中的任意两个，则可 由上式求得第三个。
2） 由于相邻截面的间距不变，所以横截 面上没有正应力。
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9.4 圆轴扭转时横截面上的应力与变形
为了分析剪应力在横截面上的分布规律，我们从轴中取 出长为dx微段来研究。（图a）
在力偶的作用下，截面n - n与 m - m的相对转角为d ，
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9.1 扭转的概念
这种受力形式在机械 传动部分也经常发 生，如机器的传动 轴（图b），汽车方 向盘操纵杆（图c） 等等，都是受扭转 的具体例子。
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9.1 扭转的概念
的角就是B截面相对于A截面的扭转角。
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9.1 扭转的概念
本章主要研究圆截面轴的扭转问 题，包括轴的外力、内力、应力 与变形，并在此基础上讨论轴的 强度与刚度计算。在工程上，常 把以扭转变形为主的杆件称为轴 。
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条件ΣMx = 0 得
MC － Mn2 = 0
所以
Mn2 = MC = 637 N·m
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
(3) 作扭矩图。根据各段轴的扭矩值及其正负号，按一定 比例尺量取后作出扭矩图。如图9-5d所示。从图中可 以看出，在集中力偶作用处，其左右截面扭矩不同， 发生突变，突变值等于该处集中力偶的大小；且最大 扭矩发生在BA段内。
9.3 剪切胡克定理
线段aa/（或bb/）是所在的侧 面ab相对于侧面cd的滑移量， 称为绝对剪切变形。
而
aa dx
tan
,称为相
对剪切变形或剪应变。由图
可见，剪应变γ是直角的改变
量，故又称角应变。它的单位
是rad（弧度）。剪应变γ与线
应变ε是度量变形程度的两个
基本量。
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9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩
一、功率、转速与扭转时的外力偶矩
在工程实际中，传动轴等转动构件，作用在轴上 的外力偶矩往往不直接给出，通常只知道它 们的转速与所传递的功率。因此，在分析传 动轴等转动类构件的内力之前，首先需要根 据转速与功率换算该轴所承受的外力偶矩。
由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即功
9.2 扭转时的外力偶矩与扭矩 三、扭矩图 当一根轴上有多个外力偶作用时，轴内各横截面
或各轴段的扭矩不尽相同，所以扭矩需分段 计算。为了清楚表明沿杆轴线各截面上扭矩 的变化情况，类似轴力图的作法，可绘制扭 矩图。扭矩图是表示扭矩沿杆轴线变化的图 形，扭矩图的绘制是以平行于轴线的横坐标 代表截面位置，以垂直于轴线的纵坐标表示 扭矩的数值，正扭矩画在横坐标上方，负扭 矩画在横坐标下方。在扭矩图上，还必须要 注明正负。下面举例说明扭矩的计算和扭矩 图的绘制。
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