zi int erp2(x, y, z, xi, yi,'method')
其中 x，y，z为插值节点，zi为被插值点(xi，yi)处的插值结果 且， xi， yi为被插值节点构成的新的网格数据
‘methods’代表的意思和可选择的插值方法和前面一样
注意：所有的插值方法都要求x和y是单调的网格，x和 y可以 是等距的也可以是不等距的
相当于在每一小段上应满足四个条件（方程），可以确 定四个待定参数．三次多项式正好有四个系数，所以可 以考虑用三次多项式函数作为插值函数，这就是分段三 次埃尔米特插值，它与分段线性插值一起都称为分段多 项式插值
（3）三次样条插值
2、曲线拟合的最小二乘法
给定平面上的点 (xi , y), i 1,2,, n,
函数等等）
f (x) c00 (x) c11 (x) cm m (x)
现在要确定系数 c0 , c1,, cm , 使 达到极小为此
三、插值的matlab实现
1、一维插值
MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为
yi int erp1(x, y, xi,'method')
其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果， x, y为向量。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不 能够超过x的范围。
yi int erp1(x, y, xi,'method')
' method' 表示采用的插值方法
MATLAB提供的插值方法有几种
'linear' ：分段线性插值 'cubic' ' pchip ' ：三次Hermite插值（立方插值）
例2 气旋变化情况的可视化 下表是气象学家测量得到的气象资料，它们分别表示在南 半球地时按不同纬度。不同月份的平均气旋数字．根据这 些数据，绘制出气旋分布曲面图形
y=5:10:85;x=1:12; [x,y]=meshgrid(x,y); plot(x,y,'*'); pause z=[2.4,1.6,2.4,3.2,1.0,0.5,0.4,0.2,0.5,0.8,2.4,3.6;
' spline' ：三次分段样条插值
'nearest ' ：最近点等值方式
缺省时表示线性插值
例1 在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环 境温度数据分别为
12，9，9，1，0，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，
推测中午（即13点）时的温度．
x=0：2：24； y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13]； x1＝13 ； y1＝interp1（x，y，x1，‘spline’）
2、浓度的变化规律 在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律， 测得一组数据如表
表中的数据反映了浓度随时间变化的函数关系，它是一 种离散关系若需要推断20，40分钟时的浓度值，能否用 一个显函数y=f(t)来拟合表中的离散数据，然后再计算浓 度值f(20), f（40）?
问题分析 （1）首先将这些离散数据分布在直角坐标系下，由此可 发现浓度与时间之间呈现什么规律．这种数据分布在 直角坐标系下的图形被称为散点图；
（2）根据散点图，判段它接近于哪类函数曲线， 即确定函数形式
（3）函数形式确定以后，关键是要确定函数中含有的 待定参数。
最常用的确定待定系数的方法是，曲线拟合的最小二乘法
二、 插值与拟合
1、插值方法 （1）分段线性插值
分段线性插值的提法如下：
（2）分段三次埃尔米特插值 在插值问题中，如果除了插值节点的函数值给定外，还 要求在节点的导数值为给定值，即插值问题变为
18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16; 20.8 18.5 18.2 16.6 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5; 22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6; 37.3 28.8 27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4; 48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9; 25.6 24.2 25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3; 5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.6 6.3 6.6; 0.3,0,0,0.3,0,0,0.1,0.2,0.3,0,0.1,0.3]; figui,yi]=meshgrid(1:12,5:1:85); zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline' ); figure mesh(xi,yi,zi) xlabel('月份'), ylabel('纬度'), zlabel('气旋'), axis([0 12 0 90 0 50]) title('南半球气旋可视化图形')
进行曲线拟合有多种方法，最小二乘法是解决曲线拟 合最常用的一种方法
最小二乘法的原理是求f(x),使
n
n
2 i
[ f (xi ) yi ]2
i 1
i 1
达到最小
简单地说，最小二乘法准则就是使所有散点到曲线的距 离平方和最小
线性最小二乘法
拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三
角
0 (x),1 (x),, n (x) 来线性表示
插值则要求函数在每个观测点处一定要满足 yi f (xi )
插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平 均．插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又十 分重要的应用，例如，信息技术中的图像重建、图像放 大中为避免图像的扭曲失真的插值补点、建筑工程的外 观设计。化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数 据、地理信息数据的处理如(天气预报）以及社会经济 现象的统计分析等等．
引言
在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据
(xi , yi ), i 0,1,, n 揭示自变量x与因变量y之间的关系，
一般可以用一个近似的函数关系式y＝f（x）来表示
通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值
拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体 误差最小、较好反映观测数据的近似函数，并不保证所得 到的函数一定满足 yi f (xi ) 曲线拟合的目的是根据实验获得的数据去建立因变量 与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入 研究提供线索
若要得到一天24小时的温度曲线
x=0：2：24； y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13] xi＝0：1／3600：24； yi=interp1(x,y,xi,’spline’ ); plot(x, y, ’o’, xi, yi)
2、高维插值 (1) 网格数据插值问题 N维插值函数interpN（） 其中N可以为2，3，……，如N＝2为二维插值，调用格式为
一、实例及其模型
1、船在该海域会搁浅吗
在某海域测得一些点(x，y)处的水深z（单位：英尺）由 下表给出，水深数据是在低潮时测得的．船的吃水深度 为5英尺，问在矩形区域(75,200)*(-50，150）里的哪些 地方船要避免进人．
分析
由于测量点是散乱分布的，先在平面上作出测量点的分 布图，再利用二维插值方法补充一些点的水深，然后作 出海底曲面图和等高线图，并求出水深小于5的海域范 围．