如果要让 B 尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的 n 尽可能地小而 m 尽可能地大，因此应当
m 取最大的约数，而 n 应取最小的约数，因此 m 2009 ， n 1 ，所以 B 2009 2008 .
【答案】 B 2009 2008
【巩固】
1 45
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空
12 13 156
10 13 60 156
【答案】 1 1 1 1 10 13 60 156
【例 9】 已知等式 1 1 1 其中 a，b 是非零自然数，求 a+b 的最大值。 15 a b
【考点】分数的拆分 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛，第 13 题
【解析】 易知，
x
y
x
y
都要大于 1001，要保证 a、b 都是四位数，所以 a、b 的比值都要小于 10，即 x、y 的比值小于 10．而
1001 的两个互质且比值小于 10 的约数有以下几组：（1,7）、（7,11）、（7,13）、（11,13）、（11,91）、
（13,77）．所以我们依次取 x、y 为上面所列的数对中的数，代入 a、b 的表达式，得到本题的答案： a 8008,2574,2860,2184,9282,6930 b 1144,1638,1540,1848,1122,1170
1
3
4
11
2004 2004(3 4) 2004(3 4) 4676 3507
【答案】 1
1
2
11
2004 2004(1 2) 2004(1 2) 6012 3006
1
1
3
11
2004 2004(1 3) 2004(1 3) 8016 2672
1
2
3
11
2004 2004(2 3) 2004(2 3) 5010 3340
⑴ 本题10 的约数有：1 ，10，2，5． 例如：选 1 和 2，有： 1 1 2 1 2 1 1 ；
10 10 (1 2) 10 (1 2) 10 (1 2) 30 15
从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的 m 和 n ，它们的数值虽然不同，但是如果 m 和 n
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1998 2 3 3 3 37 ； 2007 3 3 223 ； 2008 2 2 2 251；10101 3 7 13 37 .
例题精讲
模块一、分数的拆分
【例 1】 算式“ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝
。
希望杯
1
【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】先选 10 的三个约数，比如 5、2 和 1，表示成连减式 5 2 1 和连加式 5 2 1．
则：
1 10
1
4
1
10
1
20
1
80
1
40
1
16
如果选 10、5、2，那么有： 1 1 1 1 1 1 1 ． 10 3 6 15 17 34 85
5-3-4.分解质因数.题库
教师版
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b d cb ad 1 ，即有 cb ad 1 ，那么很容易发现只有 3×5-2×7=1 。符合原式的填法为 a c ac ac 32 1 。 7 5 35 【答案】 3 2 1 7 5 35
【例 5】 求满足条件 1 1 1 的 a、b 的值(a、b 都是四位数)． a b 1001
5-3-4.分解质因数.题库
教师版
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【解析】
1 45
1
72
1
120
1
18
1
30
1
405
1
135
1
81
1
9
1
15
1
45
【答案】
1 45
1
72
1
120
1
18
1
30
1
405
1
135
1
81
1
9
1
15
1
45
【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
1 10
1
1
1
1
1
当(m，n)=（1，5）时， 1 1 1 ，此时，a+b=108； 15 90 18
当(m，n)=（1，15）时，
1 15
1 240
1 16
，此时，a+b=256；
当(m，n)=（3，5）时
，
【答案】
a b
8008,2574,2860,2184,9282,6930 1144,1638,1540,1848,1122,1170
【巩固】若 1 1 1 ，其中 a、b 都是四位数，且 a<b，那么满足上述条件的所有数对（a,b）是 2004 a b
【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空
⑵ 10 的约数有 1、2、5、10，我们可选 2 和 5：
1 52
5
2
1 1
10 10 (5 2) 10 (5 2) 10 (5 2) 6 15
另外的解让学生去尝试练习．
【答案】（1） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 20 20 11 110 12 60 14 35 15 30
1
3
4
11
2004 2004(3 4) 2004(3 4) 4676 3507
【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
5-3-4.分解质因数.题库
教师版
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（1）
1 10
1 20
1 20
1
1
1
1
1
1
1
1
；
（2）
1 10
1
1
【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空
的比值相同，那么最后得到的 A 和 B 也是相同的．本题中，从 10 的约数中任取两个数， 共有
C42 4 10 种，但是其中比值不同的只有 5 组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题
共可拆分成 5 组．具体的解如下：
1 11 1 1 11 11 11 ． 10 20 20 11 110 12 60 14 35 15 30
【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】取 1001 的两个不同约数 x、 y(x y) ，得到：
1 xy
x
y
1
1
，因为 x、y 都是 1001 的约
1001 1001(x y) 1001(x y) 1001(x y) 1001 (x y) 1001 (x y)
x
y
数，所以 1001 、 1001 都是整数．所以只需令 a 1001（x+y）， b 1001（x+y）就可以了．而 a、b
1986
c 331 ，检验满足.所以这 3 个质数的和为 2 3 331 336 ．
【答案】 2 3 331 336
【例 3】 一个分数，分母是 901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的 一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后 是 7 ．那么原来分数的分子是多少． 13
例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7.
三、部分特殊数的分解
111 3 37 ； 1001 7 1113 ；
5-3-4.分解质因数.题库
11111 41 271；
教师版
10001 73137 ； 1995 3 5 7 19 ；
【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】因为新分数约分后分母是13 ，而原分母为 901，由于 901 13 694 ，所以分母是加上 9 或者减
去 4 ．若是前者则原来分数分子为 7 70 9 481 ，但 481 13 37 ，不是质数；若是后者则原来分 数分子是 69 7 4 487 ，而 487 是质数．所以原来分数分子为 487 ．
【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设这 3 个质数从小到大为 a 、 b 、 c ，它们的倒数分别为 1 、 1 、 1 ，计算它们的和时需通分，且通
abc 分后的分母为 a b c ，求和得到的分数为 F ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为
abc a 、 b 、 c 或它们之间的积.现在和为 1661 ，分母 1986 2 3 331，所以一定是 a 2 ， b 3 ，
【解析】2004 的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：
1
1
2
11
2004 2004(1 2) 2004(1 2) 6012 3006
1
1
3
11
2004 2004(1 3) 2004(1 3) 8016 2672
1
2
3
11
2004 2004(2 3) 2004(2 3) 5010 3340
1 15
mn 15(m n)
m 15(m
n)
n 15(m
n)
，令（m，n）为互质的一对数，现在要让分母为
1，只
需 m，n 是 15 的一对互质的约数即可。
当(m，n)=（1，1）时，
1 15
1 30