数学建模期末考查作业一、某化工厂生产A,B,C,D 四种化工产品，每种产品生产1吨消耗的工时，能该厂明年的总利润最高的数学模型，并利用MATLAB 写出简单的求解程序。

解：设该厂明年生产1A ，2A ，3A ，四种产品的数量分别为1x ，2x ，3x ，4x （单位：t ），总利润为z 。

约束条件 ：工时限额：18480753802501004321≤+++x x x x能耗限额：1001.05.03.02.04321≤+++x x x x确定目标函数：4321852x x x x Z +++=4321852m ax x x x x Z +++=()⎪⎩⎪⎨⎧=∈≥≤+++≤+++4,3,2,1,01001.05.03.02.01848075380250100..43214321i N x x x x x x x x x x t s i i 且 求解：model:max=2*x1+5*x2+8*x3+x4;100*x1+250*x2+380*x3+75*x4<=18480; 0.2*x1+0.3*x2+0.5*x3+0.1*x4<=100; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(x4); endGlobal optimal solution found.Objective value: 388.0000 Objective bound: 388.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 -2.000000 X2 0.000000 -5.000000 X3 48.00000 -8.000000 X4 0.000000 -1.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 388.0000 1.000000 2 40.00000 0.000000 3 75.60000 0.000000分析：由程序及结果可知，当四种化工产品生产数量分别为1x =2，2x =0，3x =48，4x =0时，该厂利润取最大值，最大值为388万元。

二、某单位将用三个月时间开发一项新产品，其间的材料、工资及销售费用等均需支付，而此项生产的收益都要到产品销售后三个月才能获得。

因此，该单位必须做好资金的筹措工作。

此单位目前可以提供的内部资金只有3000元，可提供的组装工序的工时为2500h ，调试包装工序的工时为150h ，两种不同型号所需工序时间、成本及售价如下表所示：最初投入市场至少需要A 产品50件、B 产品25件。

该单位向银行贷款，银行同意总数不超过10000元的短期贷款。

银行的条件是借贷期的利率为每年借贷款额平均额的12%；此外要求信贷保证：安排产品生产的现金和生产产品的应收帐款不得小于未偿还的借款额与三个月未到期的利息的两倍之和。

这样的情况下，该单位应如何考虑产品生产与银行贷款。

1、 问题分析与建模设单位生产的产品A 数量为x1，产品B 的数量为x2，银行贷款的金额为x3，获得的利润为z 。

由题意可知本题是要求得出x1、x2、x3的值使得单位获利最多。

根据可提供的组装工序的工时为2500（h ），即产品A 与产品B 的组装时间不能超过2500h ，由此可以得到方程： 12*x1 +25*x2 <=2500 (1)根据可提供的包装工序的工时为150（h ），即产品A 与产品B 的包装时间不能超过150h ，由此可以得到方程： x1 +2*x2 <=150 (2)根据题目所述安排产品生产的现金（3000元）和生产产品的应收账款（58*x1+120*x2）不得小于未偿还的借贷款额（x3）与三个月未到期的利息的两倍之和，其中销售后三个月末的利息为贷款额的6%。

可以列出方程：3000+58*x1+120*x2>=x3+2*x3*6%整理可得方程：1.12*x3-58*x1-120*x2<=3000 (3) 由生产产品的成本要少于生产资金的关系又可得到一个方程：50*x1+100*x2<=3000+x3整理可得：50*x1+100*x2-x3<=3000 (4) 另外题目中对产品数量及贷款金额还有明确的限定：产品A 不得少于50件，产品B 不得少于25件，贷款金额不能多于10000元。

即有约束条件：x1>=50，x2>=25，x3<=10000。

而获得的利润为产品边际利润的总和减去银行贷款六个月的利息，计算的公式为z=8*x1+20*x2-0.06*x3。

根据以上对题目的分析可以建立以下模型： 目标函数：max(z)= 8*x1+20*x2-0.06*x3约束条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<=>=>=<=+<=<=+<=+10000x325x250x1 3000x3-x2*100x1*50 3000x2*120-x1*58-x3*1.12 150 x2*2 x12500 x2*25 x1*12 2、 程序代码 model :max =8*x1+20*x2-0.06*x3; 12*x1+25*x2 <=2500;x1+2*x2<=150;1.12*x3-50*x1-100*x2<=3000;50*x1+100*x2-x3<=3000;x1>=50;x2>=25;x3<=10000;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);EndGlobal optimal solution found.Objective value: 1130.000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX 50.00000 -8.000000Y 50.00000 -20.00000Z 4500.000 0.6000000E-01Row Slack or Surplus Dual Price1 1130.000 1.0000002 650.0000 0.0000003 5460.000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 25.00000 0.0000008 5500.000 0.000000 3、结果分析经计算得出结果如下图所示：x1=50，x2=50，x3=4500。

也就是说单位在考虑产品生产与银行贷款是要向银行贷款4500元，生产产品A件数为50件、产品B件数为50件能够获得最好的收益1130元。

三、某工厂生产1A、2A两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有100h，可用于检验的工时只有120h，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示：(1)试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案；(2)对产品1A的利润进行灵敏度分析；(3)对装配工序的工时进行灵敏度分析；(4)如果工厂试制了3A型产品，每件3A产品需装配工时4h，检验工时2h，可获利润5元，那么该产品是否应投入生产？问题分析：原问题即是线性规划问题。

1、2、3小问也即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的分析C j的变化范围、分析b i变化范围、增加一个约束条件的分析。

于是，上诉问题都可通过灵敏度分析的步骤运用单纯形表法得以解决。

第一小问，建立线性规划模型，用单纯形表法求最优解，同时可为第二、三小问做准备。

第二小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的C j的变化范围分析。

将A1的利润变为()6+λ元，以λ的取值范围进行分析。

第三小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的b i变化范围分析。

将装λh，按公式1：配工序工时变为()100+b B b 1∆=∆-*算出*∆b ，将其加到基变量列的数字上，然后由于其对偶问题仍为可行解，故只需检查原问题是否仍为可行解。

第四小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的增加一个约束条件的分析。

只需加入约束条件建立新的线性规划模型，通过LINGO 程序直接获得新的最优解。

模型的建立和求解：1) 建立模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤+≤++=N,0,120x 2x 4100x 3x 2..x 4x 6maxZ 2121212121x x x x t s Z 表示总的利润，x 1、x 2分别表示两种型号生产数量。

得最优解为x 2=x 1=20，即最优方案为A 1、A 2两种型号各生产20件。

得最大利润200元。

2) 将A1的单件利润改为()6+λ元，得如下新的线性规划问题，通过λ变化分析原问题的灵敏度。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥=++=++++++=N,0,,,120x 2x 4100x 3x 2..0x 0x 4x )6(maxZ 2143214213214321x x x x x x x x t s x λ上述线性规划问题的最终单纯形表：表1表中解的最优条件是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤+-≤--≤--08/55/1102/32/102/306λλλλ 由此推得当325/88≤≤-λ时满足上述要求。

3) 由表1可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-8/34/14/12/1B 1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*2020b 由公式1有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∆*4/2/08/34/14/12/1b λλλ 使问题最优基不变的条件是04/202/20b ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∆+**λλb 由此推得 8040≤≤-λ4) 加放产品A 3，建立新的线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≤++≤++++=N x ,,0x ,,120x 2x 2x 4100x 4x 3x 2..x 5x 4x 6maxZ 321321321321321x x x x t s用LINGO求解，程序代码如下：model:max=6*x1+4*x2+5*x3;2*x1+3*x2+4*x3<=100;4*x1+2*x2+2*x3<=120;@gin(x1) ;@gin(x2) ;@gin(x3) ;EndGlobal optimal solution found.Objective value: 206.0000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 4Variable Value ReducedCostX1 23.00000 -6.000000X2 2.000000 -4.000000X3 12.00000 -5.000000Row Slack or Surplus DualPrice1 206.00001.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.000000解的结果为：X1=23，X2=2，X3=12。