第三讲.解析几何之中点弦题型【教学目标】1.掌握两点的中点坐标公式；2.掌握韦达定理在解析几何中的应用；3.会求解解析几何中相关的中点弦问题。

【知识、方法梳理】1.若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++ 2.一元二次方程20ax bx c ++=，则有1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3.解析几何中遇到中点弦问题，基本解题思路是联立方程，利用韦达定理（注意判别式∆）【典例精讲】例1.直线:1l y x =+与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，求,A B 的中点坐标。

【解析】：将直线代入椭圆，得23420x x +-=设1122(,),(,)A x y B x y ，中点00(,)x y 则1243x x +=-，120223x x x +==-，00113y x =+= 所以中点21(,)33-【点评】：看到中点，想到韦达定理例2.设直线l 交椭圆2212x y +=于,A B 两点，且,A B 的中点为1(1,)2M ，求直线l 的方程。

【解析】：直线l 斜率不存在的情况显然不可能，所以设直线1:(1)2l y k x -=- 代入椭圆方程，整理得222113()2()0224k x k k x k k +--+--= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212()212k k x x k -+=+，又因为1(1,)2M 所以1221()21122k k x x k -+==+，解得1k =-，经检验此时0∆> 所以3:2l y x =-+ 【点评】：联立方程利用韦达定理是解决中点问题的基本方法例3.已知双曲线2212y x -=与点(1,2)P ，过P 点作直线l 与双曲线交于A B 、两点，若P 为AB 中点. （1）求直线AB 的方程；（2）若(1,1)Q ，证明不存在以Q 为中点的弦.【解析】：（1）解：设过(1,2)P 点的直线AB 方程为2(1)y k x -=-，代入双曲线方程得2222(2)(24)(46)0k x k k x k k -+---+=设1122(,),(,)A x y B x y ， 则有2122242k k x x k-+=-- 由已知1212p x x x +== ∴222422k k k-=-.解得1k =. 又1k =时，160∆=>，从而直线AB 方程为10x y -+=.（2）证明：按同样方法求得2k =，而当2k =时，0∆<，所以这样的直线不存在.【点评】：注意检验∆的重要性，上题中中点在椭圆内部，检验∆只是形式而已，而双曲线的情况较为复杂，检验的步骤必不可少，具体的情况我们以后会做分析。

例4.若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围 【解析】：设对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，中点00(,)M x y ，考虑到直线AB 应与0x y +=垂直，设直线:AB y x b =+，联立方程得，210ax x b ---=，所以121x x a +=，120122x x x a+==， 点M 也在0x y +=上，所以0012y x a =-=-，即11(,)22M a a- 代入直线AB ，得001b y x a=-=- 所以方程化简为2110ax x a-+-= 考虑到0∆>，解得34a > 例5.已知椭圆2212x y +=上有不同两点B A ,关于y x b =+对称，求b 的取值范围； 【解析】：设1122(,),(,)A x y B x y ，B A ,中点00(,)M x y ，依题意AB 被直线y x b =+垂直平分，所以1AB k =-，设:AB y x m =-+，代入椭圆，整理得2234220x mx m -+-= 则1243x x m +=，120223x x x m +==，003m y x m =-+= 由于00(,)M x y 也在y x b =+上，所以00y x b =+，003m b y x =-=-考虑到有两个交点0∆>，解得(3,3)m ∈- 所以33(,)33b ∈- 【点评】：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出1122(,),(,)A x y B x y ，但不是真的求出1122,,,x y x y ，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA ⊥OB 得12120x x y y +=是解决本题的关键.例6.椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，过1F 斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．（1）求证：c b =；（2）设点)1,0(-P 在线段AB 的垂直平分线上，求椭圆C 的方程．【解析】：（1）由题设，得AB 22AF =2BF +，由椭圆定义AB 2AF +a BF 42=+， 所以，a AB 34=． 设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(1c F -，l ：c y x -=，代入椭圆C 的方程，整理得02)(42222=--+b cy b y b a ， （*） 则]4)[(2)(2)()(212212212212212y y y y y y y y x x AB -+=-=-+-= []22224222422222422222)(84)(2422a b a b b a c b b a b a b b a c b ⋅+=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 于是有a ba b a ⋅+=222434， 化简，得b a 2=，故，c b =．（2）由（1）有c b =，方程（*）可化为02322=--b by y设AB 中点为),(00y x M ，则3)(21210b y y y =+=， 又l M ∈，于是3200b c y x -=-=． 由=PA PB 知PM 为AB 的中垂线，1-=PM k ， 由)1,0(-P ，得32131b b -+=-，解得3=b ，182=a ， 故，椭圆C 的方程为191822=+y x ．例7.已知抛物线22(0)y px p =>,过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点,A B ，且2AB p ≤。

(1)求a 的取值范围(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB △面积的最大值 【解析】：(1)设直线l 的方程为：y x a =-，代入抛物线方程得2()2x a px -=，即222()0x a p x a -++=2224()42AB a p a p ∴≤⋅+-≤，2242ap p p ∴+≤即24ap p ≤- 又0p >，4p a ≤-。

(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点(,)C x y ,由(1)知，11y x a =-，22y x a =-，1222x x a p +=+则有1212122,222x x y y x x a x a p y p +++-==+=== ∴线段AB 的垂直平分线的方程为()y p x a p -=---,从而N 点坐标为(2,0)a p +点N 到AB 的距离为|2|22a p a p +-= 从而222124()42222NAB S a p a p p ap p =⋅⋅+-⋅=+△ 当a 有最大值4p -时，S 有最大值为22p 。

【双基训练】1.若直线20x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，则线段AB 的中点坐标是_________ 2.设直线l 交椭圆22132x y +=于,A B 两点，且,A B 的中点为(1,1)M ，求直线l 的方程。

3.已知双曲线2212y x -=与点(2,1)P ，问能否过P 点作直线l 与双曲线交于A B 、两点，使得P 为AB 中点？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由。

4.已知椭圆13422=+y x 上有不同两点B A ,关于m x y +=4对称，求m 的取值范围；【纵向应用】5.已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。

（1）求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线x y 21=对称？若存在， 请求出a 的值；若不存在，说明理由。

【横向拓展】6.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。

如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。

已知椭圆221:14x C y +=。

（1） 若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2） 写出与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆b C 的方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围？（3） 如图：直线l 与两个“相似椭圆”22221x y a b+=和22222(0,01)x y a b a bλλ+=>><<分别交于点,A B 和点,C D ，证明：AC BD =【练习题答案】1.(4,2)2.2533y x =-+ 3.能，23y x =- 4.213213,1313m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭5.【解析】：（1）由⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y ，得022)3(22=---ax x a 依题意⎩⎨⎧>∆≠-0032a 即66<<-a 且3±≠a （2）如果存在的话，必须满足AB 被x y 21=垂直平分，所以2a =- 代入（1）中方程得2420x x -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ， 则12022x x x +==，00213y x =-+=-，即(2,3)M - 但(2,3)M -不在12y x =上，所以不存在这样的a 。

6.【解析】：（1）椭圆2C 与1C 相似。

因为椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1（2）椭圆b C 的方程为：22221(0)4x y b b b+=>- 设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ， 则222214y x t x y b b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以222584()0x tx t b -+-= 则12004,255x x t t x y +=== 因为中点在直线1y x =+上，所以有4155t t =+，53t =-即直线MN l 的方程为：5:3MN l y x =--， 由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点， 即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解， 所以224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即53b > （3）证明：①直线l 与x 轴垂直时，易得线段AB 与CD 的中点重合，所以AC BD =； ②直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为：y kx n =+，1122(,),(,)A x y B x y ， 线段AB 的中点00(,)x y ，2222222222222()2()01y kx n b a k x a knx a n a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 20122222002221()2a kn x x x b a k nby kx n b a k ⎧=+=-⎪⎪+⇒⎨⎪=+=⎪+⎩⇒线段AB 的中点为22222222(,)a kn nb b a k b a k -++ 同理可得线段CD 的中点为22222222(,)a kn nb b a k b a k -++， 即线段AB 与CD 的中点重合，所以AC BD =。