傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。

泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。

信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。

通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。

以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。

1、CFS（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x)可展开为由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理。

故CFS图示如下：Figure 1理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。

在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。

2、CFT（连续时间傅里叶变换）连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。

当然，从时域上也可以反过来看成x(t)的周期延拓。

将x(t)进行CFS展开，有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT：CFT-1：x(t)是信号的时域表现形式，X(jΩ)是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。

CFT即将x(t)分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。

上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。

CFS中的D n与CFT中的X(jΩ)之间有如下关系即从频域上分析，D n是对X(jΩ)的采样（可将Figure 1与Figure 2进行对比）。

CFT图示如下：Figure 23、DTFT（离散时间傅里叶变换）首先，先从连续信号得到离散信号。

用冲激信号序列对连续非周期信号x c(t)进行采样，采样间隔为T s，有此时的x s(t)还不是真正的离散信号，它只是在满足t = nT s的时间点上有值，在其它时间点上值为零。

对x s(t)进行进一步处理有规定则其中，x[n]是最终所得的离散信号。

x s(t)自变量为t，其单位为秒s，间隔为T S；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。

从频域分析上有其中。

令，定义以上式为DTFT定义式。

DTFT逆变换为DTFT是在时域上对CFT的采样（图示可见Figure 3与Figure 4），在DTFT中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示X(e jω)为连续的，且有周期ωs = 2π。

X(e jω)与X s(jΩ)之间的关系为ω= ΩT sX s(jΩ)中，自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s），周期为Ωs = 2π/T s；X(e jω)中，自变量ω单位为弧度（rad），周期为ωs = 2π。

CFT时域采样图示如下：Figure 3DTFT图示如下：Figure 44、DFS（离散时间傅里叶级数）在离散时间信号x[n]基础上，用冲激序列对DTFT中的X(e jω)进行采样，采样间隔为Δω = 2π/N，则有而S(ω)的逆DTFT变换为对X s(e jω)进行逆DTFT变换，有x s[n]相当于对x[n]进行了周期延拓，周期为N = 2π/Δω。

由上式可得若延拓周期N大于x[n]的时长，则延拓不会发生混叠，于是k为任意整数令周期信号，k为任意整数，则有取ω= 2πk/N，令则有是以k为自变量的函数，有以下性质m为任意整数即的周期为N。

为了避免重复计算，我们只考虑一个周期N内的情况，即同时，为时域表示，为频域表示。

故定义DFS为其逆变换为的自变量n单位为1，周期为N；的自变量k单位为1，周期也为N。

DFS应用于离散时间周期性信号中，其相当于在频域中对DTFT采样，而对应地在时域中相当于对DTFT进行周期延拓（图示见Figure 5与Figure 6）。

DFS与DTFT的关系为DTFT频域采样图示如下：Figure 5DFS图示如下：Figure 65、DFT（离散傅里叶变换）在DFS基础上，取离散时间周期性信号的基础上，0,1,2,…N-1这一个周期内的N个点，得其中，R N[n]表示当n = 0,1,2,…N-1时函数取值为1，当n取其它值时函数取值为0。

定义DFT为其逆变换为x d[n]的自变量n单位为1，时长为N；X d[k]的自变量k单位为1，时长也为N。

DFT相当于对DFS的时域及频域都取0,1,2,…N-1这一个周期内的N个点。

6、傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关系主要有两点，一是采样与周期延拓之间的对应关系，二是对自变量的替换关系。

（1）采样与周期延拓之间的对应关系采样与周期延拓之间是一种对应关系，时域中对信号采样相当于在频域中对信号进行周期延拓，同样地，频域中对信号采样相当于在时域中对信号进行周期延拓，二者间是对应与平行的关系，不存在因果关系。

傅里叶变换中的CFS、CFT、DTFT、DFS、DFT可由连续非周期信号x c(t)进行采样及周期延拓处理得到各种变换，它们之间的关系如图Figure 7与Figure 8：Figure 7Figure 8上两图中，蓝色箭头表示在时域或频域中采取的主动措施，白色箭头表示在频域或时域中产生的相应变换。

（2）对自变量的替换关系在对信号进行采样与周期延拓的同时，对自变量进行某种替换，从而完成傅里叶变换类型的转变。

傅里叶变换中对自变量的替换情况如图Figure 9所示。

CFS适用于连续周期性信号，其自变量t单位为秒（s），相应的幅频谱|D n|中，自变量n单位为1。

而CFT适用于连续非周期信号x c(t)，其自变量t单位为秒（s），对应的频域信号为X c(jΩ)，其自变量Ω单位为弧度/秒（rad/s）。

由CFS变成CFT相当于连续周期性信号的周期T0趋于无穷，而在频域中则为自变量的替换，由n变成Ω，替换关系为DTFT适用于离散时间信号x[n]，其自变量n单位为1，对应的频域信号为X (e jω)，自变量ω单位为弧度（rad）。

由CFT变成DTFT 相当于对连续信号x c(t)采样及离散化，自变量由t替换为n，替换关系为t = nT s，而在频域中则为周期延拓及自变量的替换，由Ω替换为ω，替换关系为ω = ΩT s。

DFS适用于离散周期性信号，其自变量n单位为1，对应的频域信号为，自变量k单位为1。

由DTFT变成DFS相当于在频域中对X (e jω)进行采样、离散化与自变量替换，由ω替换为k，替换关系为ω = 2πk/N。

DFT的时域与频域序列长度都为N个点（0,1,2,…N-1），时域自变量n单位为1，频域自变量k单位为1。

由图Figure 7、Figure 8和Figure 9可以清楚地研究非相邻变换之间的关系。

Figure 9二、与相关教材内容的辨析1、《Signal Processing and Linear Systems》（thi, Oxford University Press）书中首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意信号x(t)可用正交信号空间的线性组合表示，进而引出三角傅里叶级数，将这种表示用三角函数的线性组合表示。

CFS的来源介绍比我对CFS的自述更加详细具体，更有逻辑性，体现了高等数学的延伸，CFS定义部分与我的自述大体相同。

书中由CFS引出CFT，指出连续非周期信号x c(t)相当于将连续周期性信号的周期T0趋于无穷，然后对x c(t)按照CFS方法展开，中间过程中引出了CFT。

这一部分与我的自述大体相同。

只是我在对傅里叶变换的总结中将x c(t)进行无混叠的周期性延拓，反向也得出了。

这只是对傅里叶变换的又一种理解，但从本源上考虑，还应该是由连续周期性信号得出连续非周期信号x c(t)。

书中接下来先介绍的是DFS。

书中由CFS类比定义了DFS，定义为其中，这种定义与我对DFS的自述略有差别。

书中完全按照CFS的定义模式定义的，书上在此之后也按照CFS的模式给出了D r的幅频谱与相频谱。

而我的自述则采用类似CFT的定义方式，即正变换为从时域变到频域，逆变换为从频域变到时域，其次书中使用的字母表示方式与我的自述略有差异，不过本质上意义是相同的。

紧接着，书中由DFS引出了DFT，指出DFT的时域及频域都为N点有限序列，此处与我对DFT的自述大体相同，但未进行深入说明。

之后，类似于由CFS引出CFT，书中由DFS中的离散时间周期函数引出离散时间非周期函数x[k]（令周期N0→∞），然后对x[k]按照DFS的方法展开，在中间推导过程中引出了DTFT。

总之，在离散时间信号的傅里叶变换中，书上是类比CFS引出CFT的模式，由DFS引出DTFT，而DFT也由DFS引出，只是未做重点讲解，实质上是从时域角度出发，与连续时间信号进行同等过程的类比。

我对离散时间信号傅里叶变换的自述则从频域角度出发，与连续时间信号的时域推导过程进行同等过程的类比。

二者分析方向不同，顺序不同，但本质上是相同的。

这也从侧面反映出傅里叶变换将单纯的时域分析引向时域与频域的双领域分析，增加了对信号分析与处理的方法与方向，有利于更好地对信号进行理解。

2、《信号与系统》书中也是首先将高等数学中的向量理论扩展到了信号系统中，引出正交信号空间的定义，指出任意周期为T0的信号x(t)可进行正交分解，而正余弦信号集是比较特殊的正交信号集，并用正余弦信号集表示信号，达到一种分解的目的，从而定义出CFS，并将正余弦信号集进一步扩展为虚指数信号集，从而将指数形式的CFS表示出来。

在表示方式上与我的自述基本相同。

而书中对三角形式的CFS与指数形式的CFS总结比较清楚，并对各自形式的幅频谱进行了比较，指出指数形式CFS的频谱为双边谱，而三角形式的CFS的频谱为单边谱。

而由CFS导出CFT的叙述则基本与我的自述相同，即连续非周期信号x c(t)相当于将连续周期性信号的周期T0趋于无穷，然后对x c(t)按照CFS方法展开，中间过程中引出了CFT。

书中对DFS的描述，类比于对CFS的描述，采用离散形式的虚指数正交信号集对离散时间周期性信号表示，表示方式与上一本书相同。

由DFS引出DTFT时类比于由CFS引出CFT的过程，将离散时间周期性信号周期趋于无穷，得出离散时间非周期性信号，按照DFS 的方式对信号进行分解表示，在推导过程中引出DTFT的定义，过程与上一本书基本相同。