二、地震波辐射源的理论模式
1.集中力系点源
(1)集中力
弹性力学中为了分析连续体的运动,引入:
Δm为ΔV中之质量;ΔF 为
Δm所受之合力。
1)r点上单位质量所受的体力(密度):
2)r点上单位体积所含质量受到的体力(密度):
V
r
,
m
Δ
F
Δ
lim
)t,r
(
X
V
Δ
∈
=
→
Δ
V
Δ
r
t),
,r
(
X
t),r
(ρ
m
Δ
F
Δ
V
Δ
m
Δ
lim
V
Δ
F
Δ
lim
t),r
(
F
V
V
∈
=
=
=
→
Δ
→
Δ
即运动方程中的体力项。
*如果:⎪⎩⎪⎨
⎧Δ∉=Δ∈≠V r 0,V
r 0,t),r ( F *如果:(t) g t)dV', r'( F lim V
V =∫
Δ→Δ当ΔV 趋于r 点时,积分有限。
则称g(t)为作用在r 点上的集中力。
用Dirac δ函数表示:
F(r, t)=g(t)δ(r)
(2)力场的势函数(用Φ和Ψ表示)
*据场论分析,矢量场作Stokes 变换(分解):
0,t),r ( F =Ψ⋅∇Ψ×∇+Φ∇=①
*对①式两边分布求散或求旋:
Ψ
−∇=Ψ∇−Ψ⋅∇∇=Ψ×∇×∇=×∇Φ∇=⋅∇2
2
2
)(F ;F ②
它们都是泊松方程(非奇次的拉普拉斯方程),有定解
∫∫
∞
∞
×∇=
Ψ⋅∇−=dV'
)
r' -r (π 4 t)
, r' (F ') t ,r (;dV')
r' -r (π 4 t), r' (F ' t),r (Φ③
*求③式的积分:
第二式也可类似导出。
力势可由给定的力场表示:
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨
⎧×∇=Ψ⋅∇−=Φ∫∫∞∞dV'r t), r' (F 4π1 t),r (dV'r t)
, r' (F 4π1 t),r (**
④
(3)几种基本的集中力系点源的弹性波辐射场
(均匀各向同性弹性全空间)
1)单个集中力引起的位移场(基本解)*运动方程:
F u μ)u ()μ2(λt
u
ρ22+×∇×∇−⋅∇∇+=∂∂⑤
*位移矢量场的Stokes 分解(用小写字符ϕ和ψ表示):
ψ;ψu =⋅∇×∇+ϕ∇=⑥
*运动方程两边求散或求旋:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Ψ+∇=∂∂+=
+ϕ∇=∂ϕ∂ρμ
β,ρψβt
ψρ2μλα,ρΦαt
22222
22222⑦
*这组非齐次二阶偏微分方程有定式解:
冲量法
推迟势解
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧Ψ=Φ=ϕ∫
∫V
**
2V
**
2
dV'r
)
βr - t ,r'(βρ4π1 t),r (ψdV'r )
αr
- t , r' (αρ4π1 t),r (⑧
即得到了用力势函数表示的位移势的形式解。
*特例:当原点作用一个单个集中力时的辐射场,即将
代入④式,得:
⑨再将⑨代入⑧,即得:
即得到单个集中力作用于原点时,位移场的势函数解。
*按观察点P(r)为球心,r*为半径,
dr*为层厚的同心球层划分积分全
空间,求前式中积分部分。
∫
∫
∫
∫∫
∇⋅=∇⋅=∇⋅=
∞
∞
∞
π02
*0**
*S'0*
*
*
*
*
)d θθsin r 2π(r'1)α
r -(t g r dr dS'r'
1
)αr -(t g r dr )dV'r'1(')α
r -(t g r 1I 且令:dS’=(2πr *sin θ)(r *d θ)
=2πr *2sin θd θ
变元:余弦定理(r ,r *是常数):
代入前式,得:
因此,
⑩
⑩代入⑥,作Stokes反变换,得到均匀各向同性弹性全空间中,原点上作用集中力引起的位移响应(辐射场):
经整理,可写成
其中|r|为原点(即力点)到观测点P(r)的距离。
如果力点不在原点,而在Q(r')
点,则
经整理,可得:
(♦)
可见:
*集中力在无限弹性体中引起三种扰动;
*在远场主要是P波和S波,Laplace波很快衰减了;
*P波的振幅与集中力在R方向上的分量有关,因此具有辐射强度的方位分布;
*S波的偏振面与R、g共面,S波的振幅随R方向变化;
*Laplace波分布在P波波前与S波波前之间。
衰减快。
特别地,当g(t)沿球坐标极轴方向,作用于原点(0, 0, 0)且是时间上集中瞬间的脉冲力,即:
可见:
P波在θ=0时(力的方向)最强;在θ=π/2时为零。
因此,过(0, 0, 0)点,θ=π/2的平面是个节平面;节平面的前侧(i(3)正侧)为离源运动;节平面的后侧(i(3)负侧)为向源运动。
S波在θ=0和π时为零;在θ=π/2时最强;偏振面为i(3)与i(θ)决
定的平面;点点的运动方向均为-i(θ)。
集中力只是理论探讨,实际地震不可能在介质内出现这类单力。
但是,它是“基本解”。
2)集中力偶在均匀各向同性弹性体中激发的弹性波由上一节已知F +和F -的辐射场,现在把两者迭加,只考虑远场位移,略去Laplace 波,因此:
u(r, t)≈(u p++u p -)+(u s++u s -)
* *
**实际地震观测表明,P波初动符合四象限分布;但是S波除了在ϕ=0,π 时达到极大,在θ=0,π 时也极大,而不是为零。
(图中线为节线。
)
**单力偶虽比单力合理,是一对平衡的内力,但是力矩并不平衡。
这一力系常称为有矩单力偶点源。
**已证明有矩单力偶点源与位移位错点源是相当的。
3)无矩双力偶点源和双无矩力偶点源
可以证明:两者在远场时的辐射图案在数学上完全相同。
* u
p
的辐射强度方位分布与单力偶完全一样。
若此时每个单力偶强
度均为M
,则无矩双力偶的辐射强度为单力偶的2倍。
*u
s 则也合成为两个对称的节线(X
1
=±X
3
),其初动无法区分断层面
了。
与实际观测一致!。