2
2
3
3
3
Asin(x )
A 2, . 3
15．2
对任意 x R ， x
x2
1
x
x
0
，函数
y
f
x的定义域为 R ，
f x f x ln x2 1 x ln x2 1 x ln1 0
y f x
，则函数
为奇函数，
当 x 0 时，由于函数 y x2 1 x 为增函数，所以，函数 y f x在0, 上为增函
4．D
命题 p 即：lna⩾x，∴lna⩾1，解得 a⩾e；命题 q 即关于 x 的方程 x2+4x+a=0 有实根，等价于
△=16−4a⩾0，所以 a⩽4.∵命题“p∧q”是真命题，∴命题 p 真，命题 q 真，因此实数 a 的 取值范围是[e,4]；
tan
sin cos
2
5．B sin2 cos2 1
M
(1,
2)
，且直线
l
与曲线
C
交于
A
、
B
两点，求
|
1 MA
|
|
1 MB
|
的值．
f x x 3 2 x
23．（10 分）
．
f x
f x 0
（1）画出
的图象，并由图象写出
的解集；
（2）若存在 x R 使不等式 f x 2a 1 0 成立，求实数 a 的取值范围．
数学（理科）答案
1．D 2．B 3．A
B．
C．
D．
x2 y2 1(a 0,b 0)
8．若双曲线 a2 b2
的一个焦点 F 到其一条渐近线的距离为
3a 则双曲线的
离心率为（ ）
A． 2
B． 3
C． 2
9．某单位安排甲乙丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4 天.
甲说：我在 1 日和 3 日都有值班
乙说：我在 8 日和 9 日都有值班
D．[e, 4]
5．若
tan
2
，
,
3 2
，则
cos
( )
5 A． 5
5 B． 5
2 5 C． 5
25 D． 5
6．在等差数列
an
中，若
a3
a4
a5
a6
a7
45 ，则 S9
（
）
A． 45
B．162
135 C． 2
D． 81
f (x) sin x
7．函数
ln(x 2) 的图象可能是（ ）
A．
甘肃省张掖市第二中学 2020 届高三数学 9 月月考试题 理
第 I 卷（选择题)
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．设全集U R ，集合 A {x | x 3}, B {x | 0 x 5}, 则集合 CU A B = （ ）
A．{x | 0 x 3}
B．{x | 0 x 3}
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将椭圆 x2
y2 4
1
上每一点的横坐标保持不变，纵
坐标变为原来的一半，得到曲线 C ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，直线 l 的极坐标方程为 (sin cos ) 1．
1写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
2 已知点
2 a 1
2
，
.
2 13 13． 13 因为直线 l1 : 3x 2 y 1 0 与 l2 : 3x 2 y 1 0 互相平行
d c1 c2 11 2 13
a2 b2
32 22
13 .
(2, ) 14． 3
sin x 3 cos x 2(1 sin x 3 cos x) 2(cos sin x sin cos x) 2sin(x )
f
1 1 ，
因此， f x 2 ln x x ，故答案为： 2 ln x x .
17．(I) an 3n 2 ；(Ⅱ) S7 254 ，或 S7 86
(I)设等差数列
an
的公差为
d
，∵ a3
a2
3,a2
a4
14 ．∴ d
3 ， 2a1
4d
14 ，
解得 a1 1， d 3 ， ∴ an 1 3n 1 3n 2 ．
A．4
B． log2 7
C． 2
D． 2
1 11．已知函数 f (x) (x 1)ex a ln x 在[ 2 , 3]上单调递减，则 a 的取值范围是（ ）
A． 9e3,
B． , 9e3
C． 4e2,
D． , 4e2
0 x 1
12．当
2 时,
4x loga x ,则 a 的取值范围是(
（Ⅱ）用 X 表示抽取的 3 天中空气质量为优的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
20．（12 分）在平面直角坐标系中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ，在 y 轴上截得线
段
长2 3.
(1) 求圆心 P 的轨迹方程；
2 (2) 若点 P 到直线 y x 的距离为 2 ，求圆 P 的方程.
f (x) ln x
15．已知函数
x2 1 ，若实数 a, b 满足 f (a) f (b 2) 0 ，则
a b ____.
16．已知函数
f
x
2
ln
x
x
f
'1 ，则
f
(x)
__________________.
三、解答题（共 70 分）
17．（12 分）已知等差数列{an}满足 a3 a2 3 ， a2 a4 14 .
35 35 35 35 7 .
20．(1) y2 x2 1 (2) x2 ( y 1)2 3或 x2 ( y 1)2 3 .
13 2
9．D 由题意，1 至 12 的和为 78，因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值
班的日期之和为 26，根据甲说：我在 1 日和 3 日都有值班；乙说：我在 8 日和 9 日都有值班，
可得甲在 1、3、10、12 日值班，乙在 8、9、2、7 或 8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日，
y f x ,0
数，由于该函数为奇函数，则函数
在
上也为增函数，所以，函数
y
f
x
在
R
上为增函数，由
f
a
f
b 2 0 ，得
f
a f
b 2
f
2 b ，
a 2 b ，可得出 a b 2 .
16． 2 ln x x
对函数
y
f
x 求导得
f
x
2 x
f
1
，
f
1
2
f
1 ，解得
x
1 2 时，函数 y 4x 的图象，如图所示，
若不等式 4x loga x 恒成立，则函数 y loga x 的图象恒在函数
y 4x 的上方， 1
因为函数 y loga x 的图象与函数 y 4x 的图象交于 ( 2 , 2) 点时，
a
此时
2
2 ，根据对数函数的性质可知函数 y loga x 图象对应的底数 a 满足
丙说：我们三人各自值班日期之和相等
据此可判断丙必定值班的日期是（ ）
A．10 日和 12 日 B．2 日和 7 日
C．4 日和 5 日
D． 5
D．6 日和 11 日
10．已知函数
f
x是定义在 R 上的奇函数，
f
(3 x) 2
f
(x
3) 2
，且
x
3 2
,
0
时，
f (x) log2 (3x 1) ，则 f (2020) ( )
（Ⅰ）求 {an } 的通项公式；
（Ⅱ）设 Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和，若 b2 a2 ， b4 a6 ，求 S7 ．
18．（12 分）如图，已知四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯 形， AD CD ， AB / /CD ， CD 2AB . （Ⅰ）求证：平面 PAB 平面 PAD ；
21．（12 分）已知函数 f (x) ax ln x ， g( x) eax 2x ，其中 a R ． (1) 当 a 2 时，求函数 f (x) 的极值； (2) 若存在区间 D (0, ) ，使得 f (x) 与 g(x) 在区间 D 上具有相同的单调性，求实
数a 的取值范围．
二选一
（Ⅱ）若 M 是线段 PC 的中点，求 BM 与平面 PDC 所成的角的正弦值。
19．（12 分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（
Air Quality Index ，简称 AQI ）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地
区 7 天的空气质量指数，其中，有 4 天空气质量为优，有 2 天空气质量为良，有 1 天空 气质量为轻度污染.现工作人员从这 7 天中随机抽取 3 天进行某项研究. （I）求抽取的 3 天中至少有一天空气质量为良的概率；
5
12
19．（I） 7 ；（Ⅱ） 7 .
（Ⅰ）解：设事件 A 为“抽取的 3 天中至少有一天空气质量为良”，
事件 A 的对立事件 A 为“抽取的 3 天空气质量都不为良”，从 7 天中随机抽取 3 天共有 C73 种
不同的选法，抽取的
3
天空气质量都不为良共有 C53 种不同的选法，则
p
A
1
C53 C73
A． (7, 4)