高二文科数学立体几何平行与垂直部分练习题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.
（1）求证：1//A C 平面BDE ；
(2)求证：平面1A AC ⊥平面BDE ；
(3)求直线BE 与平面1A AC 所成角的正弦值.
2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E ＝C 1F.求证：EF ∥平面ABCD.
3．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点．
（1）证明：PB //平面AEC ；
（2）设1,3AP AD ==三棱锥P ABD -的体积34
V =求A 到平面PBC 的距离．
A D
B C
P
E
4．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥DC；
5．已知四棱锥P ABCD
-的底面为直角梯形，//
AB DC，⊥
=
∠PA
DAB,
90ο底面ABCD，且1
PA AD DC
===，2
AB=，M是PB的中点．
（1）求证：CM PAD
P面；
（2）证明：面PAD⊥面PCD；
（3）求AC与PB所成的角的余弦值；
（4）求棱锥M PAC
-的体积。
6．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N 为侧棱PC上的两个三等分点
A B
C
D
P
N
（1）求证：AN ∥平面 MBD;
（2）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值;
（3）求二面角M-BD-C 的余弦值.
7．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：（1）PA ∥平面BDE
（2）平面PAC ⊥平面BDE
8．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．
(1) 求证： //FG 平面BCP ；
(2) 求证： PC AD ⊥；
F G
P
D
C B A
9．如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，5AB =，4BC =，
P M
D C
B A N
14AA =，点D 是AB 的中点.
（1）求证：1AC BC ⊥；
（2）求证：11//AC CDB 平面
（3）求三棱锥11A B CD -的体积.
10．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，侧面ABC B B AA 底面⊥11，=∠1BAA 060，21=AA ，底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点，E 是线段1BC 上一点，且13
1BC BE =． 1
（1）求证：//GE 侧面B B AA 11；
（2）求证：1AB A C ⊥．
11．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为棱AB 的中点，BC ＝1，AA 1＝ 3.
(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；
(2)求三棱锥D －A 1B 1C 的体积.
12．直三棱柱ABC －A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．
(1)证明：MN ∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13
Sh ，其中S 为底面面积，h 为高) 13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，16BB BC ==，D E 、分别为1AA 和1B C 的中点.
（1）求证：DE //平面ABC ；（5分）
（2）求三棱锥E BCD -的体积.（7分
14．已知△ABC 是边长为l 的等边三角形，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，AD = AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A －BCF ，其中22
BC =
． (1)证明：DE ∥平面BCF ；
(2)证明：CF ⊥平面ABF ；
(3)当23AD =时，求三棱锥F －DEG 的体积V ．
15．（本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ，AD BC AB 2
1=
=,F E ,分别为线段PC AD ,的中点.
（1）求证：AP ∥平面BEF ;
（2）求证：BE ⊥平面PAC
16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，G 、H 分别是CE 和CF 的中点．
（Ⅰ）求证：AF//平面BDGH ；
（Ⅱ）求 E BFH V -
17．如图1，直角梯形ABCD 中，0
90,//=∠BAD CD AB ，2==AD AB ，4=CD ，点E 为线段AB 上异于B A ,的点，且AD EF //，沿EF 将面EBCF 折起，使平面⊥EBCF
平面AEFD ，如图2.
（1）求证：//AB 平面DFC ；
（2）当三棱锥ABE F -体积最大时，求整个几何体的体积。
.
18．如图，直角梯形ABCD 中，AB CD P ，12AB CD =,AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE ,BCE ∆为等边三角形，,M F 分别是,BE BC 的中点，14
DN DC =. (1)证明：MN ADE P 平面;
(2)证明：EF AD ⊥;
(3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，CD PD =，90,120ADP CDP ∠=︒∠=︒，,,E F G 分别为,,PB BC AP 的中点.
（Ⅰ）求证:平面//EFG 平面PCD ;
（Ⅱ）若2AD DP ==，求四棱锥E ABCD -的体积。
20．在如图所示的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．
(1)求证：AF ∥平面BCE ；
(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE.
21．如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.
(1)求证:BC ⊥平面ACD ；（2）求几何体A BCD -的体积.
22．已知四边形ABCD 是矩形，AB=，BC=，将△ABC 沿着对角线AC 折起来得到△AB 1C ，且顶点B 1在平面AB=CD 上射影O 恰落在边AD 上，如图所示．
（1）求证：AB 1⊥平面B 1CD ；
（2）求三棱锥B 1﹣ABC 的体积V B1﹣ABC ．
23．如图（1），在三角形ABC 中，BA=BC=2，∠ABC=90°，点O ，M ，N 分别为线段的中点，将ABO 和MNC 分别沿BO ，MN 折起，使平面ABO 与平面CMN 都与底面OMNB 垂直，如图（2）所示．
（1）求证：AB ∥平面CMN ；
（2）是否可在OB 上找到一点Q ，使MQ CAN P 面；
（3）求点M 到平面ACN 的距离．
8．如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠=o ，,E F 分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =．
（1）求证：BC //平面DAE ；
（2）求四棱锥D AEFB -的体积.
）
）
A
B
E
F C
D A C
D
E F
B
图1 图2
24．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο
求三棱柱111C B A ABC -的高
27．（本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，111,AA BC A B BB ⊥⊥.
（1）求证：111AC CC ⊥；
（2）若2,3,7AB AC BC ===
，问1AA 为何值时，三棱柱111ABC A B C -体积最大，并求此最大值。
35．如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π
=∠=，M 为BC 上一点，且12
BM =. （1）证明：BC ⊥平面POM ；
（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.
14．如图，已知O e 的直径AB ＝3，点C 为O e 上异于A ，B 的一点，VC ⊥平面ABC ，且VC
＝2，点M为线段VB的中点.
(1)求证：BC 平面VAC；
(2)若AC＝1，求直线AM与平面VAC所成角的大小.。