立体几何测试卷
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一、选择题：
1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）75 2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4cm 、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ） （A ）cm 77 （B ）cm 27 （C ）cm 55 （D ）cm 210 3．等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将AMN ∆折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30 ，则四棱锥A —MNCB 的体积为（ ） （A ）
2
3
（B ）23 （C ）3 （D ）3
4．若二面角βα--l 为120 ，直线m α⊥,则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是 （ ）
（A ）(
]
90,0 （B ）[
]
60
,30 （C ）[]
90,60 （D ）[]
90,30
5．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是 （ ） （A ）若a // M,b // M,则a // b （B ）若a // M,b ⊥a,则b ⊥ M （C ）若a ,,M b M ⊂⊂且l b l a ⊥⊥,则M l ⊥ （D ）若,//,N a M a ⊥则N M ⊥ 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
（A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）12
3
a
7．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）3π （B ）4π （C ）π33 （D ）6π 8． 已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22
R π （B ）
249R π （C ）238R π （D ）22
5
R π 9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） （A ）βα、都垂直于平面γ （B ）α内存在不共线的三点到β的距离相等
（C ）l 、m 是内两条直线，且l //β
β//,m
D ）l 、m 是两条异面直线，且ββαα//,//,//,//m l m l
10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （A ）60 （B ）90 （C ）105 （D ）75 二、填空题：
11．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形。
要使它们的面积之和最小，正方形的周长应为：________________________
12．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为：_________________ 13．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60
，则异面直线PA 与BC 所成角的正弦值为：_____________________ 14．把半径为3cm ,中心角为π3
2
的扇形卷成一个圆锥形容器这个容器的容积为： _________________ 三、解答题：
15．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，如图所示中底面边长和侧棱长均为a ,侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B=
a 26。
（1） 求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值； （2） 求证：A 1B ⊥面AB 1C
16．如图，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ；PN ⊥BB 1交CC 1于点N 。
求证：CC ⊥1MN （2）在任意三角形DEF 中有余弦定理DE DFE EF DF EF DF cos 22
2
2
⋅-+=。
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角的关系式，并予以证明。
A
B
C
A
B
C 1
17．如图ABCD —1111D C B A 是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（1） 求三棱锥D 1—DBC 的体积； （2） 证明BD 1 // 平面C 1DE
（3） 求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值。
18．如图，正三棱柱ABC--111C B A 中，D 是BC 的中点，AB=a.
（1） 求证：111C B D A
（2） 求点D 到平面ACC 1的距离；
（3） 判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结
论
A
B
C
D
E A
B 1
D 1
C
A
B
C C 1
B 1
A 1 O
19．如图四棱锥P---ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD 。
（1） 若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为
60 ，求这个四棱锥的体积；
（2） 证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD
与面PCD 所成的二面角恒大于90
20．在棱长为a 的正方体OABC--1111C B A O 中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF 。
（1） 求证：E C F A 11⊥；
（2） 当三棱锥B 1—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B 1-EF-B 的大小。
P
C
D
A
B。