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华南理工大学期末考试
《 信号与系统 》试卷B 答案
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；
一、 填空题(共20分，每小题 2 分)
1、()⎪⎭
⎫
⎝⎛π+
=3t 4cos 3t x 是 （选填：是或不是）周期信号， 若是，其基波周期T=2/π。

2、[]⎪⎭⎫
⎝⎛+=64
cos ππn
n x 是 （选填：是或不是）周期信号，若是，基波周期 N=
8 。

3
、
信
号
()()()
t 3s i n t 2c
o s t x +π=的傅里叶变换
()
ωj X =
3)](3)([j )]2()2([++--++-ωδωδππωδπωδπ。

4、一离散LTI 系统的阶跃响应[][][]12-+=n n n s δδ，该系统的单位脉冲响应
[]=n h ]2n [2]1n []n [---+δδδ 。

5、一连续LTI 系统的输入()t x 与输出()t y 有如下关系：()()
()ττ=⎰
+∞
∞
-+τ--d x e
t y 2t ，该
系统的单位冲激响应()=t h )
2t (e +- 。

6、一信号()()2u 34+=-t e
t x t
，()ωj X 是该信号的傅里叶变换，求()=ωω⎰+∞
∞-d j X
π6。

7、周期性方波x(t)如下图所示，它的二次谐波频率=
2ωT
4π。

_____________ ________
8、设)e (X j ω是下图所示的离散序列x[n]傅立叶变换，则
=⎰
ωπωd )e (X 20
j π2 。

9、已知一离散实偶周期序列x[n]的傅立叶级数系数a k 如图所示，求x[n]的周期N=
8 。

10、一因果信号[]n x ，其z 变换为()()()
2z 1z 1
z 5z 2z X 2++++=，求该信号的初值[]=0x
2 。

二、 判断题(判断下列各题，对的打√，错的打×)(共20分，每小题2分)
1、已知一连续系统的频率响应为)
5j(2
3e )H(j ωω
ω+-=，信号经过该系统不会产生相
位失真。

（ × ）
2、已知一个系统的单位冲击响应为)2t (u e )t (h t
+=-，则该系统是非因果系统。

（ √ ）
3、如果x(t)是有限持续信号，且绝对可积，则X(s)收敛域是整个s 平面。

（ √ ）
4、已知一左边序列x[n]的Z 变换()()()
2
3151
11+++=---z z z z X ，则x[n]的傅立叶变换存在。

（ × ）
5、对()()2
t t 1000s i n t x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ=进行采样，不发生混叠现象的最大采样间隔=m ax T 0.5ms 。

（ √ ）
[]
x n k a
8
k
. . . . . .
T 1 -T 1 T
-T
T/2 -T/2 t
()x t
6、一个系统与其逆系统级联构成一恒等系统，则该恒等系统是全通系统。

（ √ ）
7、离散时间系统S ，其输入为]n [x ，输出为]n [y ，输入-输出关系为：]
n [n ]n [x y =则该系统是LTI 系统。

（ × ）
8、序列信号)1(2][-=-n u n x n 的单边Z 变换等于
1
21
-z 。

（ √ ） 9、如果]n [x 的傅立叶变换是)5cos()sin(X ωωωj e j =）（，则]n [x 是实、奇信号。

（ √ ） 10、若t 50
2jk
100
100
k e
)k (cos )t (x π
π∑-==，则它的傅立叶级数系数为实、奇函数。

（ × ）
三、 计算或简答题(共40分，每小题 8 分)
1、f 1 (t )与f 2 (t ) 波形如下图所示，试利用卷积的性质,画出f 1 (t ) * f 2 ( t ) 的波形。

解：
2、如下图所示系统，如果)j (H 1ω是截止频率为hp ω、相位为零相位的高通滤波器，
求该系统的系统函数)j (H ω，)j (H ω是什么性质的滤波器？
()y t
()x t
解：
)j (H 1)
j (X )
j (Y )j (H )j (H )j (X )j (X )j (Y )t (h )t (x )t (x )t (y 111ωωωωωωωω-==
-=*-= 低通滤波器。

3、设x(t)为一带限信号，其截止频率ωm = 8 rad/s 。

现对x(4t) 采样，求不发生
混迭时的最大间隔T max
解：
设 x(t)的傅立叶变换为X(j ω) 则 x(4t) 的傅立叶变换为)4
j (X 41)j (X ωω=
， ∴ x(4t) 的截止频率ωm = 32 rad/s ， ∴ s 32
T 64,T 12max max π
π
==， 4、系统函数为2)
s )(3s (1
s )s (H -+-=
的系统是否稳定，请说明理由?
解： 该系统由2个极点，s 1=-3和s 2=2，
1) 当系统的ROC ：σ<-3时，ROC 不包括j ω轴，∴系统是不稳定的。

2) 当系统的ROC ：σ>2时，ROC 不包括j ω轴，∴系统是不稳定的。

3) 当系统的ROC ：-3<σ<2时，ROC 包括j ω轴，∴系统是稳定的。

5、已知一个因果离散LTI 系统的系统函数1
2z 1
5z )z (H ++=
,其逆系统也是因果的，其逆系统是否稳定？并说明理由。

解：逆系统的系统函数为 1
5z 1
2z )Z (H 1)Z (G ++==
， )Z (G 有一极点5
1
z -=，
∵逆系统是因果的， ∴)Z (G 的ROC ：5
1
z >，包含单位圆， ∴逆系统是稳定的。

四、 （10分）关于一个拉普拉斯变换为()s X 的实信号()t x 给出下列5个条件：（1）
()s X 只有两个极点。

（2）()s X 在有限S 平面没有零点。

（3）()s X 有一个极点在j 1s +-=。

（4）()t x e t 2是绝对可积的。

（5）、()20X =。

试确定()s X 并给出它的收敛域。

解：
设X(s)的两个极点为s 1和s 2， 根据条件（1）、（2），可设)
s s )(s s (A
)s (X 21--=
，A 为常数；
∵ x(t)是实信号；
∴ s 1和s 2是共轭复数，s 1=-1+j ，s 2=-1-j;
∴ ()2)1)(1(0=+-=
j j A
X , A=4；
∴ )
j 1s )(1s (4
)s (X ++-+=
j
由条件（4）可知：()s X 的ROC ：σ>-1 .
五、 （10分）一个LIT 因果系统，由下列差分方程描述：
)1n (e 3
1
)2n (e )y(n 81)1n (y 43)2n (y +++=++-
+ （1） 求系统函数H (z )，并绘出其极零图。

（2） 判断系统是否稳定，并求h (n )。

解：
（1）对差分方程两边做Z 变换
)z (zE 3
1
)z (E z )z (Y 81)z (zY 43)z (Y z 22+=+-
81z 43z z
31z )
z (E )z (Y )z (H 22+
-+=
= ，21z >.
（2） 4
1-z z
3721z z 310)z (H --=
因为H (z )的极点均在单位圆内，且收敛域包含单位圆，所以系统稳定。

)()41(37)2
1(310][h n u n n n ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=
Re[z]。