运用顶点式求二次函数的解析式
李保国
一、学习目标：1、进一步巩固用待定系数法求二次函数的解析式。

2、掌握顶点式求二次函数的步骤。

3、会用顶点式求二次函数的解析式。

二、预习提纲：
（一）忆一忆
（1）y=3(x-1)2+1 对称轴______.顶点坐标______。

（2）y=ax2+bx+c 对称轴______.顶点坐标_______。

2
（3）y=a(x-h)2+k 对称轴______.顶点坐标______。

（一组：预测性困难：
学生在记忆一般式的顶点坐标公式时有可能出错。

教师追问：
根据顶点式找顶点坐标的技巧是什么？
点评：
括号内等于0求出x的值是顶点的横坐标，纵坐标是k的值。

）(二) 学一学：
例：已知二次函数的顶点是（1，-3），且过P（2，0）点，求这个二次函数的解析式。

分析：求二次函数的解析式，知道了二次函数的顶点坐标和其中的一个点的坐标，因此设为顶点式来求二次函数的解析式比较简单
解：∵二次函数的顶点是(1,3)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-3
∵抛物线过P（2，0）点
∴0=a(2-1)2-3
∴a=3
∴y=3(x-1)2-3
=3x2-6x
∴二次函数的解析式为：y=3x2-6x
总结：运用顶点式求二次函数的解析式的步骤：
①设出顶点式，注意符号的变化。

②代入点的坐标求a值。

③把顶点式化为一般式。

（三）练一练：
（1）已知抛物线过点（3，1），顶点为（2，3），求抛物线的解析式。

（2）已知抛物线的顶点为（-1，3）并过原点，求抛物线的解析式。

（三组：预测性困难：
学生有可能在求出二次函数的顶点式后忘记化成一般式。

教师追问：
二次函数图像过原点提供了什么？
点评：
二次函数图像过原点，即（0，0）点的坐标适合函数的解析式。

）（4）已知抛物线的图像如图所示，求抛物线的解析式。

（四）试一试
我国是一个水资源缺乏的国家，提倡使用节水设备，有一种节水喷头，符合下面请求：如图，垂直于地面的水管AB高出地面1.5m，在B处有自动旋转口喷头，某一时刻喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45度角，水流最高点C比喷头高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点D到A
运用顶点式求二次函数的解析式附页
一、相关链接：
用待定系数法确定二次函数解析式的三种类型：
1、已知图像上三点或三对(x,y）的值，通常选取一般式：y=ax2+bx+c (a≠
0)。

2、已知图像的顶点或对称轴，通常选用顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)。

3、已知图像与x轴的交点坐标，通常选用解析式：y=a(x-x1)(x-x2)。

二、 方法总结：
应用顶点式求二次函数解析式的一般步骤为：
1、 根据二次函数的顶点坐标，设出顶点式，注意符号的变化。

2、 代入已知点的坐标求出a 的值。

3、 把顶点式化为一般式。

三、 经典例题分析：
题目：已知抛物线过点(3,1)，顶点为(2,3)，求抛物线的解析式。

分析：本题因为知道抛物线的顶点坐标，所以设为顶点式来求比较简单。

解：∵抛物线的顶点坐标为(2,3)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3
∵抛物线过点(3,1)
∴1= a(3-2)2+3
∴y= -2(x-2)2+3= -2x 2+8x-5。

四、一题多解：
题目：已知二次函数的图像顶点是(1,-3)，且经过P(2,0)点，求这个函数的解析式。

解：方法一：设所求的二次函数为：y=ax 2+bx+c
由已知，得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=++344120242a
b a
c a b c b a 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==063c b a 函数解析式为：y=3x 2-6x
方法二： 二次函数的顶点是(1,-3)
∴设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-3
抛物线过点P(2,0)点
∴0= a(2-1)2-3
∴a=3
∴y=3(x-1)2-3
=3x2-6x
∴二次函数解析式为：y=3x2-6x
方法三：设二次函数解析式为：y=a(x-x
1)(x-x
2
)
抛物线的对称轴为x=1与x轴一交点为(2,0) ∴与x轴另一交点为(0,0)
∴y=a(x-2)(x-0)
抛物线顶点为(1,-3)
∴-3= a(1-2)*1
∴a=3
∴y=3x2-6x
∴二次函数解析式为：y=3x2-6x。