（1）力偶可以在作用平面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应。 （2）在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶臂的 大小、力的大小而不影响它对物体的作用。
上述推论表明：在同一平面内研究力偶问题时，只须考虑力偶矩，而 不必研究其中力和力偶臂的大小。
问题：力偶等效及其推论能否适用于变形效应？
x
由几何关系，力臂 d 可表示为：
代入 d，力矩 m0 ( F )为：
§3-2 力偶与力偶矩
一、力偶
大小相等、方向相反、
作用线相互平行而不重
合的两个力，记为
(
F,
F)
力偶作用面：力偶中两力所在的平面。 力偶臂d：两力作用线之间的垂直距离。
力偶对物体的作用效应
力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线相互平行，因 此在任意坐标轴上的投影之和等于零。根据合力投影定理可 知，它的合力等于零，这就是说，力偶对物体不产生移动效 应，只有转动效应。
B
r D
M
C
l
F
’ B
B
FB
E
B 45 0
r
A
D
D
FA
M
C
FC l
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同 时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为
m1 m2 m3 m4 15N m,
求工件的总切削力偶矩和A 、B端在水平面 的约束反力。
解：工件的总切削 力偶矩的大小为
M m1 m2 m3 m4 4 15 60N m（顺时针）
A F1
F
’ 1
Hale Waihona Puke BAF’ 1
B
F1
§3-4 平面力偶系的合成与平衡条件
一、平面力偶系的合成
d
d
m1 F1d1 m2 F2d2
P1d m1 P2d m2
RA P1 P2' RB P1' P2
M RAd (P1 P2)d P1d P2d m1 m2
平面力偶系合成的结果为作用于同一平面内的 合力偶，合力偶矩等于诸力偶矩的代数和。
思路：系统平衡问题，可以先求出系统A, B两处的约 束反力，然后以杆CD为研究对象，求出 C 和D处的反 力，最后求 E 处的反力。
解：（一）先取整个系统为研究对象 （1）画出受力图。受力有力偶 m，B处的约束反力
RB、铰链 A处的反力 RA。
（2）列出平衡方程。根据平面力偶系平衡条件，RA 必 与 RB 构成一力偶，且与 m 相平衡。由平衡方程有：
（1）力偶矩的大小 (2）力偶的转向（3）力偶的作用平面。称为力偶的 三要素。
§3-3 力偶的等效
力偶的等效—在同一个平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小 相等，转动方向相同，则两力偶等效。该定理称为平面力偶的等效 定理。
F
’ 1
F’2
F2
F
’ 2
F
’ 1
F1
F2 F1
力偶等效的两个重要推论：
M mi
二、平面力偶系的平衡条件
力偶系中诸力偶矩的代数和等于零。
M mi 0
例题3-5 如图所示框架CD上作用一力偶，其力 偶矩 m = 40 N ·m，转向如图。A为固定铰链， C, D 和E均为中间铰链，B为光滑面。不计各 杆件质量。试求系统平衡时，A, B, C, D 和 E 处的约束反力。
第三章 力矩 平面力偶系
中国矿业大学（北京）
§3-1 力对点的矩
力矩是力对点之矩，是使物体绕 一点转动效应的度量。
力F对O点的力矩，以符号mo(F)表
示：
mo(F) Fd
O点称为力矩中心（简称矩心）；d为O点到力F作用线的垂直距离，称 为力臂。
符号规定：逆时针转向为正，顺时针转向为负。
平面内力对点之矩为代数量。
力偶对物体转动效应的度量
力偶对 O 点之矩的和为：
y
F’ d F
F’
x
d
O
B
A
F
力偶矩
以乘积 F · d 作为量度力偶对物体的转动效应的物理量，该量称为力偶矩，用 符号 m (F , F’ ’) 或 m 表示，即:
m (F, F ’) 单位是 N • m 或者 kN • m 。力偶矩 m (F, F ’) 使物体逆时针转动为正， 顺时针转动为负。
260 mm 140 mm 320 mm
240 mm
m
E
C
D
A
B
300
320 mm
m
E
A
RA
C
D B
RB
（二）再取CD杆为研究对象
（1）画出受力图： 作用的力有力偶 m ，C 和 D处的铰链反力 RC、 RD 。DE为二力杆，故，必沿ED的方向。
（2）列出平衡方程。根据平面力偶系平衡条件，RC 必与 RD 平行且方向相反，构成一力偶，且与 m 相平 衡。由平衡方程有：
单位是 N·m。
综上：
力对矩心之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心 的位置有关；
力对任一点的矩，不会因该力沿其作用线移动而改 变；
力的作用线通过矩心时，力矩为零； 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
mo(F) Fd
0
0 d
F
y
例题3-1 图示为两齿轮啮合传动， 已知大齿轮的节圆半径为 r2，直径 为 D2 , 小齿轮作用在大齿轮上的压 力为 F，压力角为 0，试求压力 F 对大齿轮转动中心 O2 点之矩。 解： 过 O2 点作垂直于力 F 作用线的垂线， 可知与 y 轴夹角为 0 。
F’
d F
=
=
力偶矩 m(F, F’) 也可以用 F 或 F ’、d 组成的三角形面积来表示：
力偶的性质
力偶无合力
力偶的定义说明其合力 R=0。力偶没有合力，因此，力偶不能用力来平衡。 这表明，力偶不能简化为力，力和力偶是两个非零的最简单力系。
力偶对刚体的作用效应完全取决于力偶矩
力偶对物体的转动效应与力偶矩大小有关，且与矩心位置无关。力偶对 物 体的作用效应，取决于以下因素：
由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组 成一力偶，根据平面力偶系平衡方程有:
NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
NB
NA
60 0.2
300 N
小结
主要介绍力矩和力偶的概念、力偶的性质、平面力偶系的合成 与平衡等问题。
主要内容有：力对点之矩、力偶与力偶矩、力偶的等效、平面 力偶系的合成与平衡。
要求掌握的重点：力矩与力偶的性质、力偶系的合成与平衡问 题。
作业
3-3 3-7 3-8
E
A
RA
m
C D
B
RB
E
RE
m
C
D
RD
D
例题 如图所示的结构中，杆件AB为1/4圆弧，其半径为r，构件BDC为直角构件， BD垂直于CD，其上作用一个力偶 M。已知：l =2r。试求 A, C两处的约束力。
解：（1）选取AB杆为研究对象。再
取BDC杆为研究对象。
（2）分别画出各自受力图。
A
（3）根据平面力系和平面力偶系的 平衡条件，有：