A′ P1 D Q A a P B′ C P′ B Q′ b P1′
M ( F , F ) 2 S ABD , M ( P , P ) 2 S ABC S ABD S ABC M ( F , F ) M ( P , P ) M ( P , P ) M ( P1 , P1) M ( F , F ) M ( P1 , P1)
F1
F1 F2
′
F2
F1
′
F2′
F2
F1′
图3-17
工程力学电子教案
力矩与平面力偶系
28
思考题 3-3
图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶 M 和力F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？ 思考题3-4
力矩和力偶有什么联 系？又有什么区别？
M
O
图3-18
F
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力矩与平面力偶系
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思考题 3-5 两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为F 的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小 都是F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相 同？两轮上的力对轮的外效应是否相同？
F/2 r O1 O2 r
F/2 F (a)
图3-19
(b)
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力矩与平面力偶系
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两力偶作用在板上，尺寸如图，已 知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上 的合力偶矩。 解：由式
F1 180mm F
例 题 3- 1
2
F4
则 M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08 = -350 N· m
M = M1 + M2
F 力偶臂 d F′ 力偶作用面
图3-6
x
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12
(3) 力偶矩 其转动效应——力对点之矩，即用力偶中 的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来 度量。
M ( F , F ) F d 或 M F d
例如：
M O ( F ) M O ( F ) - F x - F (d - x ) -F d
这样得到新的力偶(FR , FR′),则
M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2 (2) 任意个力偶的情况 M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi
Mn M1
M2
图3-13
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19
2. 平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶 系中各力偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
F11′ d
F2
d2
F2′
=
F11
=
F22′
d FR FR′
M 1 F1 d 1 , M 2 - F2 d 2
M 1 F11 d , M 2 - F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
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18
q
M1 M2 D
O
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25
写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0
FBA A M1 FO O FAB B
M 1 - FAB rcos a 0 - M 2 2 FBA rcos a 0
因为
M2
D
FAB FBA M 2 2M 1
所以求得
FD
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F
x
d O
F
图3-7
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力矩与平面力偶系
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(4) 力偶的三要素 (a) 力偶矩的大小； (b) 力偶的转向； (c) 力偶作用面在空间的方位。
2. 平面力偶等效定理 定理：在同一平面内（或两平行平面）的两 个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向 相同，则此两力偶等效。 F1 F′
30
思考题 3-6 图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平 衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力 使之平衡？如何加？
r
F/2
O2
r
O1 F
(a)
F/2
图3-20
(b)
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31
d
a-q
图 3-3
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9
则
MO (F) xA Fy - yA Fx
(a)
若作用在 A点上的是一个汇交力系（F1 、F2 、… Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有
M
O
(F) xA Fy - yA Fx
(b)
该汇交力系的合力FR=∑F，由式(a)，它对O点的矩 为：
例如：方向盘
C A D F
B
F1′
图3-8
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14
证明：设有一力偶 (F, F ′),如图所示 . 运用加减平 衡力系的公理并注意到：
( F , F ) ~ ( F , F , Q , Q ) ~ ( P , P ) ( F , F ) ~ ( P1 , P1)
M O ( F ) F d F r sin(a - q ) F r (sin a cos q - sin q cos a ) F r sin a cos q
而
O x r Fy F
A
a
y Fx x
q
- F r sin q cos a
F cos a Fx , F sin a Fy r cos q xA , r sin q y A
MO (FR ) xA FR y - yA FR x xA F y - yA F x (c)
比较(b)、(c)两式有
M O ( FR ) M O ( F )
证毕。
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10
§3-2 力偶的概念
1. 力偶和力偶矩
(1) 力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的 两个力叫做力偶。并记作（F，F′）。可用 图3-4表示, 例如：方向盘等
F d F′ 力偶作用面 F 力偶臂 F1 A D B F1′ C F′
图 3-4
图3-5
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(2) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平 衡； (c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效 应，即它可以也只能改变物体的转动状态。
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7
(2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如 果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零， 则此力的作用线必通过该点； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
F2 F O F1
o 图 3-2 (b)
图 3-2 (c)
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2. 合力矩定理 表达式： M O ( FR ) M O ( F ) 证明：由图得 y
F3
80mm
负号表明转向为顺时针。
图3- 4 m的简支梁的两端A、B 处作 例 题 3- 2 用有二个力偶，大小各为M1 =16 N· m，M2 = 4 N· m， 转向如图。试求A、B支座的约束力。
M1 M1
A
4m (a) M2
B
60
A
FA
B FB d M2
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思考题 3-1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ， F2′)作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。 试问此两力偶是否等效，为什么？
z
F2 F2′
y
O F1
x F1′
图3-16
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思考题 3-2 如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′)和 (F2,F2′)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为 什么？
(b)
M2
d
解得
故
FA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。
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例 题 3- 3 如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机 构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，θ =30°，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。
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§3-1 力矩的概念和计算
1. 力对点之矩
l F A
(1) 用扳手拧螺母； (2) 开门，关门。
d
O
图3-1
由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与 力的大小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d 有关，故用乘积F· 来度量力的转动效应。该乘积 d
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3
谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能
撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的，
因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就 能产生足够大的力来“搬动”地球。
动力臂越长，施力的一方经过的距离越
长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支 点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你 无法想象，比阻力臂要长1000万万亿倍，要 把地球撬起1厘米，如果按每秒移动1米计算， 要花3万亿年的时间，这比地球的历史还要长。 ——来自中国科普网