2M
h X sin 1 mh X sin( 2 )
N(X )
2M mh 2 h 2 Mh [ 1 ( ) 1 ( )2 ] j ( m 1), X h 2 X X X X
7.4 描述函数分析法
典型结构
N(X)
G(jω)
7.1 7.2 7.3
•闭环特征方程为：1+N(X)G(jω)=0 稳定性分析 N(X)G(jω)=-1,等幅振荡。 G(jω)包围-1/N(X), 系统不 稳定，否则稳定。 -1/N(X)被称为负倒描述函数 。
K ( X b) costdt

4 Kb b ( 1) X 2 /2 B1 ( K ( X sint b) sintdt
11
K ( X sint b) costdt )

0

1
/2
K ( X b) sintdt
第七章 非线性系统理论
7.1 非线性系统问题概述 7.2 常见非线性因素对系统影响 7.3 描 述 函 数 7.4 描述函数分析法
本章作业
End
7.1 非线性系统问题概述
7.2
7.3
7.4
何谓非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性 静特性的元件，即称为非线性系统。
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有 关外，还与起始偏差的大小有关 。 统的响应形式与输入信号的大 小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入 时，非线性系统完全可能产生具有 固定周期和幅值的稳定振荡过程。
Hale Waihona Puke 1K ( X sint b) sintdt )
继电特性描述函数
t 1 0, 0 y M , 1 t 2 0, 2 t
A1
1
Ka sintdt )
a a a 2 [arcsin 1 ( ) ] X X X
2 KX
a a a 2 N(X ) [arcsin 1 ( ) ] X X X
2K
A0 0
间隙特性描述函数
2 /2 A1 ( K ( X sint b) costdt 0
死区特性描述函数
y K ( x ) K ( X sint )
A0 0, A1 0
B1

4
/2
1
K ( X sint ) sintdt
/2 4 /2 2 ( KX sin tdt K sintdt ) 1 1 /2 4 KX / 2 [ (1 cos 2t )dt K sintdt ] 1 1 2

KX 2b 2b b b [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] 2 X X X X K 2b 2b b b 4 Kb b N ( X ) [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] j ( 1) 2 X X X X X X
7.2 常见非线性因素对系统的影响
7.1 7.3 7.4
不灵敏区（死区特性） 饱和特性 间隙特性 继电特性 摩擦特性
7.3 描述函数
7.1 7.2 7.4
描述函数的定义 x( t ) X sint , y ( t ) A0 ( An cosnt Bn sinnt )
1 arcsin X
X sin 1
2 cos 1 1 ( ) X
4 KX 1 /2 /2 [ (t sin2t ) K ( cos t ) 1 ] 1 2 2 2 KX 1 2 [( 1 sin2 1 ) (cos 1 )] 2 2 X 2 KX 2 [ arcsin 1 ( ) ] 2 X X X 2K N(X ) [ arcsin 1 ( )2 ] 2 X X X
y(t ) y 1 (t ) A1 cost B1 sint Y1 sin( t 1 )
Y1 N(X ) 1 X A12 B12 X A1 B1 A1 arctg j B1 X X
N(X)
G(jω)
n 0
应用限制条件 • 输入输出特性奇对称，即 y(x)=-y(-x), A0=0。 • 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 • 结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。 典型环节描述函数 死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性
B1
2



2
1
M costdt
2 Mh ( m 1) X
2M

2
2
1
(si n 2 si n 1 )
M si ntdt

2M

( cos 2 cos 1 )
mh 2 h [ 1 ( ) 1 ( )2 ] X X
1 /2
t / 2 K ( X sint b), 0 y K ( X b), / 2 t 1 K ( X sint b), 1 t
饱和特性描述函数
t 1 KX sint , 0 y Ka , t 1 2
A0 0, A1 0
B1 4

( KX sin tdt
2 0
1
/2