4M e0 2 4 Me0 N ( A) 1 ( ) j 2 A A A 4 0.2 2 0.8 1 ( ) j 2 ( A e0 0.2) A A A 1 A 1 N ( A) 4 1 0.2 A2 j 0.2 A
A 1 0.2 A j (0.2 A) 2 2 4 1 0.2 A 0.2 A A 2 1 0.2 A j(0.1 2) 4
7-5 具有非线性环节的控制系统如习题7-3图所示，试用描述 函数法分析周期运动的稳定性，并确定自振荡的振幅和频率。
解：首先 变换成典型结构：
由于在用描述函数分析 稳定性和自振荡时，不考 虑r(t)的作用，故设r(t)=0。 再根据结构图中信号间 的相互关系，可变换成下 图的典型结构。
由结构图知，非线性特性是滞环继电特性：M=1，e0=0.2，故
令两式的实部、 4 A
两式联立求解得
2
10 0.1 0.157 2 ( 1) 2
3.91, A 0.806
因此，系统存在频率为3.91 rad/s，振幅为0.806的自振荡。
7-6 试用描述函数法说明题 7-6 图 所示系统必然存在自振，并确定输 出信号c的自振振幅和频率。
4 1 A 解： N ( A) ， A N ( A) 4 A从 0 , -1/N(A) 变化范围为 0 。
-1/N(A)曲线为Nyquist图中负实轴上的0 ~ -∞区段。
10 由线性部分的传递函数得：G ( j ) 2 j ( j 2)
2
当A由 0 变化时， 1/N(A)为虚部为-0.157，平行于实轴 的直线，实部由 0 变化。
10 10 j10 G( j ) 2 j ( j 1) 1 (1 2 )
起点：G (
j0)＝ 90

终点：G (
j)＝0 180
起点：G ( 终点：G (
j0)＝ 90
j )＝0 270


因此，开环频率特性的相频范围为： 90
270

画出 1/N(A) 曲线与 G(j) 曲线如右 图所示。 由图可知，交点处的 -1/N(A) 曲线 是由不稳定区进入稳定区，存在着稳定 的周期运动，该交点 D 点是自振点，系 统一定会自振。由自振条件知：
1 G( j) N ( A)
有
4 j( j 2)2 4 2 j(4 2 ) A 10 10 10
2 ，代入实部得 4 A 16 10 2。
令虚部为零，解出
解得A=0.796。输出信号c的自振振幅A=0.796和频率
因此，开环频率特性的相 频范围为： 90 180
画出 1/N(A) 曲线与 G(j) 曲线如右图所示。 由图可知，交点处的 -1/N(A) 曲线是由不稳定区进入稳定区， 存在着稳定的周期运动，该交点是自振点。
提示：求自振点的振幅和频率时，用下式往往更容易：
1 N ( A) G( j )