第二章随机变量（习题2）参考答案因此：p i i=2, p i 2.2 由离散型随机变量概率分布性质：ae −k =1∞k=1, 即: a e−k =1∞k=1, 注意到 e −k =1+12+⋯+1n +⋯=1∞k=1因此：ae −1=1, 所以：a =e −1.2.3 设A i ={甲第i 次投篮命中}，B i ={乙第i 次投篮命中}，i =1,2. 则P A 1 =P A 2 =0.7, P B 1 =P B 2 =0.4, 且A 1, A 2, B 1, B 2相互独立，因此 （1） 两人投中次数相同的概率为：P A 1 A 2 B 1 B 2 + P A 1 A 2B 1 B 2 + P A 1 A 2B 1B 2 + P A 1A 2 B1 B2 + P(A 1A 2 B 1B 2 )+P(A 1A 2B 1B 2)=0.32×0.62+4×0.7×0.3×0.4×0.6+0.72×0.42=0.3124.（2） 甲比乙投中的次数多的概率为：P A 1A 2 B 1 B 2 + P A 1 A 2B 1 B 2 + P A 1A 2B 1B 2 + P A 1A 2B1 B2 + P A 1A 2B 1 B 2=0.7×0.3×0.62×2+2×0.72×0.4×0.6+0.72×0.62=0.5628. 2.4 由于P X =k =k 15, k =1,2,3,4,5. 因此(1) P 1≤X ≤3 =P X =1 +P X =2 +P{X =3}=115+215+315=0.4. (2) P 0.5<X <2.5 =P X =1 +P X =2 =115+215=315=0.2 2.5由于P X =k =12, k =1,2,⋯. 因此 (1) P X =2,4,6,⋯ =12+12+12+⋯=13.(2) P X ≥3 =1−P X <3 =1− P X =1 +P X =2 =1−(12+12)=14=0.25.2.6 设X 为n 次试验中事件A 发生的次数，则依题意X 服从二项分布，其中P A =0.4=p . （1）n =4, X~B(4,0.4)，则P X ≥3 =C 43p 3 1−p +C 44p 4=4×0.43×0.6+0.44=0.1792. （2）n =5, X~B(5,0.4)，则P X ≥3 =C 53p 3 1−p 2+C 54p 4 1−p +C 55p 5=10×0.43×0.62+5×0.44×0.6+0.45=0.31744. 2.7 设X 为火灾发生的次数，则: X~P(λ)，P X =k =λk k !e −λ, k =0,1,2,⋯, 其中λ=0.5t .（1）依题意λ=0.5×3=1.5,k =0, 从而 P X =0 =λ00!e −λ=e −1.5≈0.22313. （2）依题意λ=0.5×4=2,k ≥2, 从而P X ≥2 =1−P x <2 =1− P X =0 +P X =1=1− 200!e −2+21!e −2 =1−3e −2≈0.59399.2.8 设X 为同一时刻发生故障的设备台数，则：X~B(180,0.01)，若配备N 名维修人员，则所要解决的问题为：确定最小N ，使得：P X >N <0.01，其中λ=np =1.8. 而P X >N =1−P X ≤N =1−C n k p k 1−p n−k N k =0=1−λk e −λk !N k =0= 1.8k e −1.8k !∞k =N +1<0.01.查表知：满足上式最小的N 为7，因此，至少应配备6名工人. 2.9 依题意：设电子元件在使用1500小时后，失效的概率为p ，则 P X <1500 = 1000x 215001000dx =13.因此，5个元件使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率为：P Y =2 =C 52(13)2(23)3=10×19×827=80243.2.10 依题意：若每天供电量仅有80万千瓦时，则每天供电量不足的概率为：P X >0.8 = 12x (1−x )2dx 10.8= (12x +12x 3−24x 2)10.8dx=1− 12x +12x 3−24x 2 0.80dx =1−0.9728=0.0272. 若每天供电量上升到90万千瓦时，则每天供电量不足的概率为： P X >0.9 =1−P X ≤0.9 =1− 12x (1−x )20.90dx =0.0037.2.11 由于K 服从区间[−2,4]上的均匀分布，方程x 2+2Kx +2K +3=0有实根的充要条件是判别式∆=4K 2−4(2K +3)≥0, 即K 2−2K −3≥0，求得：K ≤−1,K ≥3. 因此所求概率为：P K ≤−1 +P K ≥3 = 16dx −1−2+ 1643dx =13.2.12 依题意，X 的密度函数为：f x =0.005e −0.005xx ≥00 x <0, 因此：（1）发射管寿命不超过100小时的概率为： P X ≤100 = 0.005e −0.005x 100−∞dx =1−1e =0.39347. （2）发射管寿命超过300小时的概率为： P X >300 =1−P X ≤300 =1− 0.005e −0.005x 300dx =1e =0.22313.（3）由（1）（2）得，所求概率为：（注意：X 与Y 相互独立）P X ≤100 P 100<Y <300 =P{X ≤100}(P Y <300 −P{Y ≤100})=(1−1e 0.5)( 1−1e 1.5 −(1−1e0.5))=0.15086. 2.13 用X 表示没人每次打电话的时间，则X 服从参数为0.5的指数分布，其密度函数为：f x = 0.5e−0.5xx ≥00 x <0， 此时，每人每次打电话超过10分钟的概率p 为： p =P X >10 =1−P X ≤10 =1− 0.5100e −0.5x dx =1e 5≈0.00674.将282人次电话视为282次伯努利试验，由于p 很小，n =282很大，由二项分布的泊松近似公式，所求概率为：1− λ00!e −λ−λ11!e −λ=1−e −λ−1.9e −λ=1−2.9e −1.9≈0.56625. 其中：λ=np =282×0.00674≈1.9. 2.14 由于X~N(110,122), 则（1）所求概率为：P X ≤105 =F 105 =Φ105−11012=Φ −512 =1−Φ 512=1−Φ 0.41667 ≈1−Φ 0.42 =1−0.6628=0.3372.（2）所求概率为：P 100<X ≤120 =F 120 −F 100 =Φ120−11012−Φ100−11012Φ 56 −Φ −56 =2Φ 56 −1=2Φ 0.83 −1=2×0.7967−1=0.5934. 2.15 设车门最低高度为x 0, 依题意：P X >x 0 <0.01, 即1−P X ≤x 0 <0.01, 所以 X ≤x 0 =F x 0 =Φ x 0−1706>0.99, 经查表得到：x 0−1706>2.33, 即x 0>183.98≈184. 因此车门最低高度为184cm.2.16 由于每次抽取后不放回，则有 P X =0 =1820×1719×1618×1517=6095;P X =1 =C 41×220×1819×1718×1617=3295;P X =2 =C 42×220×119×1818×1717=395;所以X 的概率分布为：F x =0 x <01219 0≤ x <192951≤x <21 x ≥2.2.17 依题意: X =1,2,3. 且P X =1 =C 42C 53=610; P X =2 =C 32C 53=310; P X =3 =C 22C 53=110.所以X其分布函数为：F x =0 x <135 1≤ x <29102≤x <31 x ≥3.2.18 根据X 的分布函数，得到：（1）P X <2 =F 2 =ln2,P 0<X <3 =F 3 −F 0 =F 3 =1,P 2<X ≤2.5 =F 2.5 −F 2 =ln2.5−ln2=ln1.25.（2）f x = 1x 1≤x ≤e0 其他.2.19 因F x = a +be −x 2 x ≥00 x <0则：首先有lim x →+∞F x =1, 即a =1. 又密度函数为f x = −xbe −x 2 x ≥00 x <0由 f(x)+∞0dx=1，即：−b xe −x22+∞0dx =1, 求得b =−1. 因此（1）a =1,b =−1.（2）X 的密度函数为：f x = xe −x 2 x ≥00 x <0；（3）P <X < =xe −x2ln 6 ln 4dx =e −ln 2−e −ln 4=12−14=14.2.20 （1）由Y =(2X −π)2，依次将X =0,π2,π,3π2代入得到：Y =π2,0,π2,4π2. 因此Y 的概率分布为：（2）因Y =cos ⁡(2X −π), 依次将X =0,π2,π,3π2代入得到：Y =−1,1,−1,1. 因此Y 的概率分布为：2.21 （1）X（2）X =−Y 的概率分布为：2.22 因X~N(0,1), X 的密度函数为：f X x =2π−x 22, x ∈R .（1）Y =2X −1时，由于F Y y =P Y ≤y =P 2X −1≤y =P X ≤y +12= 2πy +12−∞−x 22dx ,因此：f Y y =22π−(y +1)2, y ∈R .（2）Y =e −X , 因F Y y =P Y ≤y =P e −X ≤y ，此时当y <0时，F Y y =0；当y ≥0时，F Y y =P e X≥1y =1−P e X<1y =1− 2π−lny −∞−x 2dx ,此时:F Y′ y=f Y y =2π y−ln 2y , 因此f Y y = 2π y −ln 2y y ≥00 y <0. （3）Y =X 2,F Y y =P Y ≤y =P X 2≤y . y <0时，F Y y =0. y ≥0时，F Y y =P − y ≤X ≤ y =2π−x 2 y − y dx =22π−x 2 y 0dx ,因此：f Y y = 2πy −yy ≥00 y <0.2.23 因为X~U(0,π), X 的密度函数为：f(x)= 1π 0≤x ≤π0 其他，（1）Y =2lnX 时：F Y y =P Y ≤y =P 2lnX ≤y =P X 2≤ey =P {e−y ≤X ≤e y }= 1πe y2e−y 2dx =2 1πe y20dx ,因此：f Y y = 12πe y2 y ≤2lnπ0 y >2lnπ, 其中：y ≤2ln π由条件e y≤π而确定.（2）Y =cosX 时：F Y y =P Y ≤y =P cosX ≤y =P X ≥arccosy =1−P {X <arccosy } =1− 1πarccosy 0dx ,因此：f Y y =2−1< y <10 其他, 其中：−1<y <1由条件0<arccosy ≤π而确定.（3）Y =sinX 时：F Y y =P Y ≤y =P sinX ≤y =P X ≤arcsiny +P {X >π−arcsiny } = 1πarcsiny 0dx +1− 1ππ−arcsiny 0dx ,因此：f Y y =π2≤ y ≤10 其他, 其中：0≤y ≤1由条件0≤X ≤π而确定.。