2020届高三文科数学小题狂练13：古典概型与几何概型（附解析）一、选择题1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．25B．15C．310D．1102．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（）A．79B．49C．23D．593．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（）A．14B．13C．12D．344．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（）A．14B．16C．13D．125．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．110B．15C．310D．1206．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（）A ．18 B ．38 C ．58D ．78 7．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.358．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A ．3πB ．πC ．2πD ．2π9．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（ ）A ．π14-B ．π24-C ．π13-D ．π23- 10．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2．在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）A ．4π-．12π- C ．π2- D ．2π11．梅赛德斯-奔驰（Mercedes Benz -）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=︒，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D 12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A B C D二、填空题13．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3,4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．14．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．15．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______．（保留四位有效数字）16．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为______． 解析1．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．25B ．15C ．310D ．110【答案】A【解析】将第一次抽取的卡片上的数记为a ，第二次抽取的卡片上的数记为b ， 先后两次抽取的卡片上的数记为(),a b ，则共有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()3,1，()3,2，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种， 所以所求概率102255P ==，故选A ． 2．袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ）A ．79B ．49C ．23D ．59【答案】D【解析】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5， 因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选D ． 3．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【解析】记合格品为a ，b ，c ；不合格为d ，这4件产品中随机抽取2件的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，抽到的都是合格品的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 即抽到的都是合格品的概率3162P ==，故选C ． 4．在一项自“一带一路”沿线20国青年参与的评选中“高铁”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ）A ．14B ．16C ．13D ．12【答案】D【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为1A ，2A ，1B ，2B ．则四个小组随机排序的所有情况有()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()2112,,,A A B B ，()2121,,,A A B B ，()1122,,,A B A B ，()1221,,,A B A B ，()2112,,,A B A B ，()2211,,,A B A B ，()1122,,,B A A B ，()1212,,,B A A B ，()2121,,,B A A B ，()2211,,,B A A B ，()1122,,,A B B A ，()1122,,,A B B A ，()2121,,,A B B A ，()2211,,,A B B A ，()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()1122,,,B A B A ，()1221,,,B A B A ，()2112,,,B A B A ，()2211,,,B A B A ，共24种，其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有12种，由古典概型的概率公式得所求概率为12． 故选D ．5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．120 【答案】A【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件为：()1,2,3，()1,2,4，()1,2,5，()1,3,4，()1,3,5，()1,4,5，()2,3,4，()2,3,5，()2,4,5，()3,4,5共10个，其中满足勾股数的只有()3,4,5，共1个，∴所求概率110p =，本题正确选项A ．6．先后抛掷3枚均匀的硬币，至少出现一次反面的概率是（ ）A ．18 B ．38 C ．58D ．78 【答案】D【解析】基本事件的总数为2228⨯⨯=，全是正面的的事件数为1，故全是正面的概率为18， 所以至少出现一次反面的概率为17188-=，故选D ． 7．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.35【答案】A【解析】月牙形图案的面积约为：35044 5.61000⨯⨯=，本题正确选项A ． 8．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A ．3π BD【答案】D【解析】由图可知64S P S ===π正六边形圆，故选D ． 9．如图，在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，B 是OC 的中点，若在直角梯形ABCD 中投掷一点(,)P x y ，则以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形的概率为（ ）A ．π14-B ．π24-C ．π13-D ．π23- 【答案】C【解析】由题，2x ≤，2y ≤，故设2为最长边长，∵以x ，y ，2为三边构成的三角形为钝角三角形，∴224x y +<，即以原点为圆心，半径为2的圆， ∴()1π21ππ12131222AOBABCD S P S -⨯⨯--===⨯+⨯V ，故选C ． 10．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2．在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动，点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（ ）A．4π-．12π- C．π2- D．2π【答案】B【解析】由题意得：阴影部分的面积21π26224π22S =⨯-⨯⨯⨯⨯=-，∴24π1π22πP -==-⋅，本题正确选项B ． 11．梅赛德斯-奔驰（Mercedes Benz -）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点O 为圆心，15OAB ∠=︒，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由已知可得60AOB ∠=︒，则105ABO ∠=︒．又()1sin15sin 4530()2224︒=︒-︒=-=，()1sin105sin 4560(22︒=︒+︒=⨯=不妨设4OA =，则由正弦定理可得4sin158sin105OA OB ⨯⋅︒===-︒，则(148sin 60122AOB S =⨯⨯-⨯︒=△，所以阴影部分的面积为'336AOB S S ==△，圆O 的面积为16πS =，则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为'36916π4πS P S -===． 故选D ．12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）AB C D【答案】A【解析】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为21π2π2=233⨯⨯，等边ABC △的面积为21π2sin 23⨯⨯=2π3所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即2π2π2(2π33+⨯=-， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率1=，故选A ．13．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3,4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．【答案】1 4【解析】设A为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有12种取法，取出的两个小球编号相同，共有3种取法，故()31 124P A==．14．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．【答案】3 5【解析】从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，共有10种不同的取法，从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔，共有6种不同的取法，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为63105=，故答案为35．15．向边长为2的正方形内随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A的距离不大于1的区域内（图中阴影区域），由此可估计π的近似值为______．（保留四位有效数字）【答案】3.149【解析】依题意得，正方形的面积4S =正方形，阴影部分的面积4π， 故落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的概率44π1π6P ==， 随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点A 的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为196810000， 即有19681610π000p ==，解得π 3.1488=，故答案为3.149． 16．在[0,20]中任取一实数作为x ，则使得不等式12log (1)4x ->-成立的概率为______． 【答案】45P =【解析】依题意，111222log (1)4log (1)log 160116117x x x x ->-⇔->⇔<-<⇔<<， 故所求概率17142005P -==-，故答案为45P =．。