几何概型
【考点梳理】
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式
P (A )＝
构成事件A 的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.
【考点突破】
考点一、与长度(角度)有关的几何概型
【例1】(1)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，
CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )
A ．16
B ．13
C ．23
D ．45
(2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．
[答案] (1) C (2) 1
3
[解析] (1)设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )>20，解得2<x <10，故所求概率P ＝
10－212＝2
3
. (2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧D 'B 交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′. 依题意，点P ′在D 'B 上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点
P ′在C ''B 上发生”．
又在Rt△ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π
6
.
故所求事件的概率P ＝
C D
l l ''B 'B ＝π6·1π2
·1＝13
.
【类题通法】
1．解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．
2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】
1．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A ．1
3 B ．12 C ．23 D ．34
[答案] B
[解析] 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1
2
.故选
B.
2．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与
AB 交于点M ，则AM <AC 的概率为________．
[答案] 3
4
[解析] 过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC ，如图所示．显然当射线CM 处在∠ACN 内时，
AM <AC .又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝
67.5°90°＝3
4
.
考点二、与面积有关的几何概型
【例2】如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )
A ．117
B ．217
C ．317
D ．4
17
[答案] B
[解析] ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝2
17
.
【例3】在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 2
无零点的概率为( ) A ．12 B ．23 C ．34 D ．14 [答案] C
[解析] 要使该函数无零点，只需a 2
－4b 2
<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.∵a ，b ∈[0，1]，a
＋2b >0，∴a －2b <0.作出⎩⎪⎨⎪
⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P
＝1－12×1×1
21×1＝34
.
【类题通法】
1．与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.
2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 【对点训练】
1．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )
A ．4
π－1 B ．1π C ．1－1
π
D ．
2π
[答案] A
[解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2
－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12－12×12＝
4－π，又因为圆的面积等于π×12
＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π
－1.
2．从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到
的圆周率π的近似值为( )
A ．4n m
B ．2n m
C ．4m n
D ．2m n
[答案] C
[解析] 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率计算公式知P ＝S 扇形S 正方形＝14πR
2R 2＝π4，又P ＝m n ，所以π4＝m n ，故π＝4m
n
.
考点三、与体积有关的几何概型
【例4】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为
________.
[答案] 1
6
[解析] 因为V A －A 1BD ＝V A 1－ABD ＝13AA 1×S △ABD ＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝1
6V 长方体，故所求概率为V A －A 1BD
V 长方体
＝
1
6
. 【例5】有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A ．13
B ．23
C ．34
D ．14 [答案] B
[解析] 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1， 由几何概型，得P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13
π×12×2＝1
3.
故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝2
3.
【类题通法】
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解． 【对点训练】
1．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A ．18
B ．16
C ．127
D ．38 [答案] C
[解析] 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127
.
2．在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A ．π12
B ．1－π
12
C ．π6
D ．1－π6
[答案] B
[解析] 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .
则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13
×12＝23π.
∴P (A )＝23
－23π
23
＝1－π
12.。